Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12637 / 12269
↖ ↑ ↗
← S 66.346322°
E 97.668457°		 ← 980.26 m → S 66.346322°
E 97.690430°		 →
↑
980.05 m
↓
↑
980.05 m
↓
S 66.355136°
E 97.668457°		 ← 979.92 m →
960 537 m²		 S 66.355136°
E 97.690430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771331787109375 y=0.748870849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771331787109375 × 214)
    floor (0.771331787109375 × 16384)
    floor (12637.5)     		tx = 12637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748870849609375 × 214)
    floor (0.748870849609375 × 16384)
    floor (12269.5)     		ty = 12269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12637 / 12269 ti = "14/12637/12269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12637/12269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12637 ÷ 214
    12637 ÷ 16384     		x = 0.77130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12269 ÷ 214
    12269 ÷ 16384     		y = 0.74884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77130126953125 × 2 - 1) × π
    0.5426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70463615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74884033203125 × 2 - 1) × π
    -0.4976806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56350991800775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70463615} λ = 1.70463615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56350991800775))-π/2
    2×atan(0.209399803695539)-π/2
    2×0.206417279267883-π/2
    0.412834558535766-1.57079632675     		φ = -1.15796177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70463615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.668457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15796177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.346322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12637 KachelY 12269 1.70463615 -1.15796177 97.668457 -66.346322
    Oben rechts KachelX + 1 12638 KachelY 12269 1.70501965 -1.15796177 97.690430 -66.346322
    Unten links KachelX 12637 KachelY + 1 12270 1.70463615 -1.15811560 97.668457 -66.355136
    Unten rechts KachelX + 1 12638 KachelY + 1 12270 1.70501965 -1.15811560 97.690430 -66.355136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15796177--1.15811560) × R
    0.00015382999999991 × 6371000     		dl = 980.050929999429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15796177--1.15811560) × R
    0.00015382999999991 × 6371000     		dr = 980.050929999429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70463615-1.70501965) × cos(-1.15796177) × R
    0.000383500000000092 × 0.401207354208718 × 6371000     		do = 980.26130258028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70463615-1.70501965) × cos(-1.15811560) × R
    0.000383500000000092 × 0.401066443142179 × 6371000     		du = 979.917017600995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15796177)-sin(-1.15811560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401207354208718-0.401066443142179)×R²
    abs(1.70501965-1.70463615)×0.000140911066538574×R²
    0.000383500000000092×0.000140911066538574×6371000²
    0.000383500000000092×0.000140911066538574×40589641000000     		ar = 960537.294723373m²