Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12637 / 12235
↖ ↑ ↗
← S 66.044796°
E 97.668457°		 ← 992.03 m → S 66.044796°
E 97.690430°		 →
↑
991.84 m
↓
↑
991.84 m
↓
S 66.053716°
E 97.668457°		 ← 991.68 m →
983 755 m²		 S 66.053716°
E 97.690430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771331787109375 y=0.746795654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771331787109375 × 214)
    floor (0.771331787109375 × 16384)
    floor (12637.5)     		tx = 12637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746795654296875 × 214)
    floor (0.746795654296875 × 16384)
    floor (12235.5)     		ty = 12235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12637 / 12235 ti = "14/12637/12235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12637/12235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12637 ÷ 214
    12637 ÷ 16384     		x = 0.77130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12235 ÷ 214
    12235 ÷ 16384     		y = 0.74676513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77130126953125 × 2 - 1) × π
    0.5426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70463615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74676513671875 × 2 - 1) × π
    -0.4935302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5504710813111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70463615} λ = 1.70463615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5504710813111))-π/2
    2×atan(0.212148011320038)-π/2
    2×0.209048587945769-π/2
    0.418097175891538-1.57079632675     		φ = -1.15269915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70463615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.668457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15269915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.044796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12637 KachelY 12235 1.70463615 -1.15269915 97.668457 -66.044796
    Oben rechts KachelX + 1 12638 KachelY 12235 1.70501965 -1.15269915 97.690430 -66.044796
    Unten links KachelX 12637 KachelY + 1 12236 1.70463615 -1.15285483 97.668457 -66.053716
    Unten rechts KachelX + 1 12638 KachelY + 1 12236 1.70501965 -1.15285483 97.690430 -66.053716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15269915--1.15285483) × R
    0.000155680000000213 × 6371000     		dl = 991.83728000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15269915--1.15285483) × R
    0.000155680000000213 × 6371000     		dr = 991.83728000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70463615-1.70501965) × cos(-1.15269915) × R
    0.000383500000000092 × 0.40602226908781 × 6371000     		do = 992.025480583698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70463615-1.70501965) × cos(-1.15285483) × R
    0.000383500000000092 × 0.405879993947844 × 6371000     		du = 991.677862793135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15269915)-sin(-1.15285483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40602226908781-0.405879993947844)×R²
    abs(1.70501965-1.70463615)×0.000142275139965786×R²
    0.000383500000000092×0.000142275139965786×6371000²
    0.000383500000000092×0.000142275139965786×40589641000000     		ar = 983755.466199102m²