Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12635 / 12252
↖ ↑ ↗
← S 66.196009°
E 97.624512°		 ← 986.13 m → S 66.196009°
E 97.646485°		 →
↑
985.91 m
↓
↑
985.91 m
↓
S 66.204876°
E 97.624512°		 ← 985.78 m →
972 066 m²		 S 66.204876°
E 97.646485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771209716796875 y=0.747833251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771209716796875 × 214)
    floor (0.771209716796875 × 16384)
    floor (12635.5)     		tx = 12635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747833251953125 × 214)
    floor (0.747833251953125 × 16384)
    floor (12252.5)     		ty = 12252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12635 / 12252 ti = "14/12635/12252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12635/12252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12635 ÷ 214
    12635 ÷ 16384     		x = 0.77117919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12252 ÷ 214
    12252 ÷ 16384     		y = 0.747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77117919921875 × 2 - 1) × π
    0.5423583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70386916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.49560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55699049965942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70386916} λ = 1.70386916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55699049965942))-π/2
    2×atan(0.21076942834485)-π/2
    2×0.207729009803561-π/2
    0.415458019607122-1.57079632675     		φ = -1.15533831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70386916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.624512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15533831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.196009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12635 KachelY 12252 1.70386916 -1.15533831 97.624512 -66.196009
    Oben rechts KachelX + 1 12636 KachelY 12252 1.70425266 -1.15533831 97.646485 -66.196009
    Unten links KachelX 12635 KachelY + 1 12253 1.70386916 -1.15549306 97.624512 -66.204876
    Unten rechts KachelX + 1 12636 KachelY + 1 12253 1.70425266 -1.15549306 97.646485 -66.204876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15533831--1.15549306) × R
    0.00015474999999987 × 6371000     		dl = 985.912249999173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15533831--1.15549306) × R
    0.00015474999999987 × 6371000     		dr = 985.912249999173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70386916-1.70425266) × cos(-1.15533831) × R
    0.000383500000000092 × 0.403609026724576 × 6371000     		do = 986.129257402318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70386916-1.70425266) × cos(-1.15549306) × R
    0.000383500000000092 × 0.403467436234007 × 6371000     		du = 985.783312400907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15533831)-sin(-1.15549306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403609026724576-0.403467436234007)×R²
    abs(1.70425266-1.70386916)×0.000141590490568833×R²
    0.000383500000000092×0.000141590490568833×6371000²
    0.000383500000000092×0.000141590490568833×40589641000000     		ar = 972066.381188527m²