Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12633 / 12309
↖ ↑ ↗
← S 66.696478°
E 97.580566°		 ← 966.54 m → S 66.696478°
E 97.602539°		 →
↑
966.35 m
↓
↑
966.35 m
↓
S 66.705169°
E 97.580566°		 ← 966.20 m →
933 855 m²		 S 66.705169°
E 97.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771087646484375 y=0.751312255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771087646484375 × 214)
    floor (0.771087646484375 × 16384)
    floor (12633.5)     		tx = 12633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751312255859375 × 214)
    floor (0.751312255859375 × 16384)
    floor (12309.5)     		ty = 12309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12633 / 12309 ti = "14/12633/12309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12633/12309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12633 ÷ 214
    12633 ÷ 16384     		x = 0.77105712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12309 ÷ 214
    12309 ÷ 16384     		y = 0.75128173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77105712890625 × 2 - 1) × π
    0.5421142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70310217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75128173828125 × 2 - 1) × π
    -0.5025634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57884972588617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70310217} λ = 1.70310217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57884972588617))-π/2
    2×atan(0.206212162346676)-π/2
    2×0.203361594702514-π/2
    0.406723189405027-1.57079632675     		φ = -1.16407314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70310217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.580566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16407314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.696478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12633 KachelY 12309 1.70310217 -1.16407314 97.580566 -66.696478
    Oben rechts KachelX + 1 12634 KachelY 12309 1.70348566 -1.16407314 97.602539 -66.696478
    Unten links KachelX 12633 KachelY + 1 12310 1.70310217 -1.16422482 97.580566 -66.705169
    Unten rechts KachelX + 1 12634 KachelY + 1 12310 1.70348566 -1.16422482 97.602539 -66.705169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16407314--1.16422482) × R
    0.000151680000000098 × 6371000     		dl = 966.353280000627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16407314--1.16422482) × R
    0.000151680000000098 × 6371000     		dr = 966.353280000627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70310217-1.70348566) × cos(-1.16407314) × R
    0.000383489999999931 × 0.39560195970679 × 6371000     		do = 966.540558908439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70310217-1.70348566) × cos(-1.16422482) × R
    0.000383489999999931 × 0.395462648897733 × 6371000     		du = 966.200192679345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16407314)-sin(-1.16422482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39560195970679-0.395462648897733)×R²
    abs(1.70348566-1.70310217)×0.000139310809056881×R²
    0.000383489999999931×0.000139310809056881×6371000²
    0.000383489999999931×0.000139310809056881×40589641000000     		ar = 933855.184133304m²