Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12631 / 12389
↖ ↑ ↗
← S 67.382150°
E 97.536621°		 ← 939.62 m → S 67.382150°
E 97.558593°		 →
↑
939.47 m
↓
↑
939.47 m
↓
S 67.390599°
E 97.536621°		 ← 939.29 m →
882 585 m²		 S 67.390599°
E 97.558593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770965576171875 y=0.756195068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770965576171875 × 214)
    floor (0.770965576171875 × 16384)
    floor (12631.5)     		tx = 12631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756195068359375 × 214)
    floor (0.756195068359375 × 16384)
    floor (12389.5)     		ty = 12389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12631 / 12389 ti = "14/12631/12389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12631/12389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12631 ÷ 214
    12631 ÷ 16384     		x = 0.77093505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12389 ÷ 214
    12389 ÷ 16384     		y = 0.75616455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77093505859375 × 2 - 1) × π
    0.5418701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70233518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.5123291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60952934164301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70233518} λ = 1.70233518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60952934164301))-π/2
    2×atan(0.199981714994124)-π/2
    2×0.197377978051639-π/2
    0.394755956103278-1.57079632675     		φ = -1.17604037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70233518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.536621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17604037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.382150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12631 KachelY 12389 1.70233518 -1.17604037 97.536621 -67.382150
    Oben rechts KachelX + 1 12632 KachelY 12389 1.70271867 -1.17604037 97.558593 -67.382150
    Unten links KachelX 12631 KachelY + 1 12390 1.70233518 -1.17618783 97.536621 -67.390599
    Unten rechts KachelX + 1 12632 KachelY + 1 12390 1.70271867 -1.17618783 97.558593 -67.390599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17604037--1.17618783) × R
    0.000147459999999988 × 6371000     		dl = 939.467659999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17604037--1.17618783) × R
    0.000147459999999988 × 6371000     		dr = 939.467659999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70233518-1.70271867) × cos(-1.17604037) × R
    0.000383490000000153 × 0.384582926311587 × 6371000     		do = 939.618693546325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70233518-1.70271867) × cos(-1.17618783) × R
    0.000383490000000153 × 0.384446803213538 × 6371000     		du = 939.286115579909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17604037)-sin(-1.17618783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384582926311587-0.384446803213538)×R²
    abs(1.70271867-1.70233518)×0.000136123098049556×R²
    0.000383490000000153×0.000136123098049556×6371000²
    0.000383490000000153×0.000136123098049556×40589641000000     		ar = 882585.153795716m²