Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12631 / 12279
↖ ↑ ↗
← S 66.434323°
E 97.536621°		 ← 976.80 m → S 66.434323°
E 97.558593°		 →
↑
976.61 m
↓
↑
976.61 m
↓
S 66.443106°
E 97.536621°		 ← 976.45 m →
953 783 m²		 S 66.443106°
E 97.558593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770965576171875 y=0.749481201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770965576171875 × 214)
    floor (0.770965576171875 × 16384)
    floor (12631.5)     		tx = 12631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749481201171875 × 214)
    floor (0.749481201171875 × 16384)
    floor (12279.5)     		ty = 12279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12631 / 12279 ti = "14/12631/12279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12631/12279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12631 ÷ 214
    12631 ÷ 16384     		x = 0.77093505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12279 ÷ 214
    12279 ÷ 16384     		y = 0.74945068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77093505859375 × 2 - 1) × π
    0.5418701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70233518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74945068359375 × 2 - 1) × π
    -0.4989013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56734486997736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70233518} λ = 1.70233518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56734486997736))-π/2
    2×atan(0.208598303345889)-π/2
    2×0.205649323715138-π/2
    0.411298647430276-1.57079632675     		φ = -1.15949768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70233518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.536621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15949768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.434323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12631 KachelY 12279 1.70233518 -1.15949768 97.536621 -66.434323
    Oben rechts KachelX + 1 12632 KachelY 12279 1.70271867 -1.15949768 97.558593 -66.434323
    Unten links KachelX 12631 KachelY + 1 12280 1.70233518 -1.15965097 97.536621 -66.443106
    Unten rechts KachelX + 1 12632 KachelY + 1 12280 1.70271867 -1.15965097 97.558593 -66.443106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15949768--1.15965097) × R
    0.000153289999999862 × 6371000     		dl = 976.610589999118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15949768--1.15965097) × R
    0.000153289999999862 × 6371000     		dr = 976.610589999118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70233518-1.70271867) × cos(-1.15949768) × R
    0.000383490000000153 × 0.399800007542755 × 6371000     		do = 976.797291470961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70233518-1.70271867) × cos(-1.15965097) × R
    0.000383490000000153 × 0.399659496864673 × 6371000     		du = 976.453993704116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15949768)-sin(-1.15965097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399800007542755-0.399659496864673)×R²
    abs(1.70271867-1.70233518)×0.000140510678082684×R²
    0.000383490000000153×0.000140510678082684×6371000²
    0.000383490000000153×0.000140510678082684×40589641000000     		ar = 953782.946884515m²