Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12631 / 12233
↖ ↑ ↗
← S 66.026948°
E 97.536621°		 ← 992.70 m → S 66.026948°
E 97.558593°		 →
↑
992.54 m
↓
↑
992.54 m
↓
S 66.035874°
E 97.536621°		 ← 992.35 m →
985 115 m²		 S 66.035874°
E 97.558593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770965576171875 y=0.746673583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770965576171875 × 214)
    floor (0.770965576171875 × 16384)
    floor (12631.5)     		tx = 12631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746673583984375 × 214)
    floor (0.746673583984375 × 16384)
    floor (12233.5)     		ty = 12233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12631 / 12233 ti = "14/12631/12233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12631/12233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12631 ÷ 214
    12631 ÷ 16384     		x = 0.77093505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12233 ÷ 214
    12233 ÷ 16384     		y = 0.74664306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77093505859375 × 2 - 1) × π
    0.5418701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70233518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.4932861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54970409091718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70233518} λ = 1.70233518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54970409091718))-π/2
    2×atan(0.212310789223374)-π/2
    2×0.209204350115355-π/2
    0.41840870023071-1.57079632675     		φ = -1.15238763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70233518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.536621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15238763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.026948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12631 KachelY 12233 1.70233518 -1.15238763 97.536621 -66.026948
    Oben rechts KachelX + 1 12632 KachelY 12233 1.70271867 -1.15238763 97.558593 -66.026948
    Unten links KachelX 12631 KachelY + 1 12234 1.70233518 -1.15254342 97.536621 -66.035874
    Unten rechts KachelX + 1 12632 KachelY + 1 12234 1.70271867 -1.15254342 97.558593 -66.035874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15238763--1.15254342) × R
    0.000155789999999989 × 6371000     		dl = 992.53808999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15238763--1.15254342) × R
    0.000155789999999989 × 6371000     		dr = 992.53808999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70233518-1.70271867) × cos(-1.15238763) × R
    0.000383490000000153 × 0.406306936040776 × 6371000     		do = 992.695115414804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70233518-1.70271867) × cos(-1.15254342) × R
    0.000383490000000153 × 0.40616458007731 × 6371000     		du = 992.34730921942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15238763)-sin(-1.15254342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406306936040776-0.40616458007731)×R²
    abs(1.70271867-1.70233518)×0.000142355963465457×R²
    0.000383490000000153×0.000142355963465457×6371000²
    0.000383490000000153×0.000142355963465457×40589641000000     		ar = 985115.110349231m²