Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12630 / 12362
↖ ↑ ↗
← S 67.152898°
E 97.514648°		 ← 948.66 m → S 67.152898°
E 97.536621°		 →
↑
948.45 m
↓
↑
948.45 m
↓
S 67.161428°
E 97.514648°		 ← 948.32 m →
899 598 m²		 S 67.161428°
E 97.536621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770904541015625 y=0.754547119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770904541015625 × 214)
    floor (0.770904541015625 × 16384)
    floor (12630.5)     		tx = 12630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754547119140625 × 214)
    floor (0.754547119140625 × 16384)
    floor (12362.5)     		ty = 12362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12630 / 12362 ti = "14/12630/12362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12630/12362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12630 ÷ 214
    12630 ÷ 16384     		x = 0.7708740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12362 ÷ 214
    12362 ÷ 16384     		y = 0.7545166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7708740234375 × 2 - 1) × π
    0.541748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70195168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.509033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59917497132507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70195168} λ = 1.70195168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59917497132507))-π/2
    2×atan(0.202063157142954)-π/2
    2×0.199378575411474-π/2
    0.398757150822948-1.57079632675     		φ = -1.17203918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70195168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.514648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17203918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.152898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12630 KachelY 12362 1.70195168 -1.17203918 97.514648 -67.152898
    Oben rechts KachelX + 1 12631 KachelY 12362 1.70233518 -1.17203918 97.536621 -67.152898
    Unten links KachelX 12630 KachelY + 1 12363 1.70195168 -1.17218805 97.514648 -67.161428
    Unten rechts KachelX + 1 12631 KachelY + 1 12363 1.70233518 -1.17218805 97.536621 -67.161428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17203918--1.17218805) × R
    0.000148869999999857 × 6371000     		dl = 948.450769999087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17203918--1.17218805) × R
    0.000148869999999857 × 6371000     		dr = 948.450769999087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70195168-1.70233518) × cos(-1.17203918) × R
    0.00038349999999987 × 0.388273298230749 × 6371000     		do = 948.659801690957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70195168-1.70233518) × cos(-1.17218805) × R
    0.00038349999999987 × 0.388136103632923 × 6371000     		du = 948.324597079771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17203918)-sin(-1.17218805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388273298230749-0.388136103632923)×R²
    abs(1.70233518-1.70195168)×0.000137194597826462×R²
    0.00038349999999987×0.000137194597826462×6371000²
    0.00038349999999987×0.000137194597826462×40589641000000     		ar = 899598.158506782m²