Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1263 / 301
↖ ↑ ↗
← N 77.579959°
E 42.011719°		 ← 4 203.89 m → N 77.579959°
E 42.187500°		 →
↑
4 210.21 m
↓
↑
4 210.21 m
↓
N 77.542096°
E 42.011719°		 ← 4 216.50 m →
17 725 812 m²		 N 77.542096°
E 42.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616943359375 y=0.147216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616943359375 × 211)
    floor (0.616943359375 × 2048)
    floor (1263.5)     		tx = 1263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147216796875 × 211)
    floor (0.147216796875 × 2048)
    floor (301.5)     		ty = 301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1263 / 301 ti = "11/1263/301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1263/301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1263 ÷ 211
    1263 ÷ 2048     		x = 0.61669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 301 ÷ 211
    301 ÷ 2048     		y = 0.14697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61669921875 × 2 - 1) × π
    0.2333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73324282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14697265625 × 2 - 1) × π
    0.7060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21813621921924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73324282} λ = 0.73324282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21813621921924))-π/2
    2×atan(9.19018640129696)-π/2
    2×1.4624110237034-π/2
    2.9248220474068-1.57079632675     		φ = 1.35402572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73324282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35402572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.579959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1263 KachelY 301 0.73324282 1.35402572 42.011719 77.579959
    Oben rechts KachelX + 1 1264 KachelY 301 0.73631078 1.35402572 42.187500 77.579959
    Unten links KachelX 1263 KachelY + 1 302 0.73324282 1.35336488 42.011719 77.542096
    Unten rechts KachelX + 1 1264 KachelY + 1 302 0.73631078 1.35336488 42.187500 77.542096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35402572-1.35336488) × R
    0.000660840000000107 × 6371000     		dl = 4210.21164000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35402572-1.35336488) × R
    0.000660840000000107 × 6371000     		dr = 4210.21164000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73324282-0.73631078) × cos(1.35402572) × R
    0.00306796000000009 × 0.215076934011791 × 6371000     		do = 4203.88797952968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73324282-0.73631078) × cos(1.35336488) × R
    0.00306796000000009 × 0.215722261434972 × 6371000     		du = 4216.50153202259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35402572)-sin(1.35336488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215076934011791-0.215722261434972)×R²
    abs(0.73631078-0.73324282)×0.00064532742318113×R²
    0.00306796000000009×0.00064532742318113×6371000²
    0.00306796000000009×0.00064532742318113×40589641000000     		ar = 17725811.6125226m²