Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12629 / 12236
↖ ↑ ↗
← S 66.053716°
E 97.492676°		 ← 991.65 m → S 66.053716°
E 97.514648°		 →
↑
991.52 m
↓
↑
991.52 m
↓
S 66.062633°
E 97.492676°		 ← 991.30 m →
983 069 m²		 S 66.062633°
E 97.514648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770843505859375 y=0.746856689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770843505859375 × 214)
    floor (0.770843505859375 × 16384)
    floor (12629.5)     		tx = 12629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746856689453125 × 214)
    floor (0.746856689453125 × 16384)
    floor (12236.5)     		ty = 12236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12629 / 12236 ti = "14/12629/12236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12629/12236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12629 ÷ 214
    12629 ÷ 16384     		x = 0.77081298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12236 ÷ 214
    12236 ÷ 16384     		y = 0.746826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77081298828125 × 2 - 1) × π
    0.5416259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70156819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746826171875 × 2 - 1) × π
    -0.49365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55085457650806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70156819} λ = 1.70156819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55085457650806))-π/2
    2×atan(0.21206666917481)-π/2
    2×0.208970747792025-π/2
    0.41794149558405-1.57079632675     		φ = -1.15285483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70156819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.492676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15285483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.053716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12629 KachelY 12236 1.70156819 -1.15285483 97.492676 -66.053716
    Oben rechts KachelX + 1 12630 KachelY 12236 1.70195168 -1.15285483 97.514648 -66.053716
    Unten links KachelX 12629 KachelY + 1 12237 1.70156819 -1.15301046 97.492676 -66.062633
    Unten rechts KachelX + 1 12630 KachelY + 1 12237 1.70195168 -1.15301046 97.514648 -66.062633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15285483--1.15301046) × R
    0.000155629999999851 × 6371000     		dl = 991.518729999052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15285483--1.15301046) × R
    0.000155629999999851 × 6371000     		dr = 991.518729999052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70156819-1.70195168) × cos(-1.15285483) × R
    0.000383490000000153 × 0.405879993947844 × 6371000     		do = 991.652004178878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70156819-1.70195168) × cos(-1.15301046) × R
    0.000383490000000153 × 0.405737754670342 × 6371000     		du = 991.304483072366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15285483)-sin(-1.15301046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405879993947844-0.405737754670342)×R²
    abs(1.70195168-1.70156819)×0.000142239277502121×R²
    0.000383490000000153×0.000142239277502121×6371000²
    0.000383490000000153×0.000142239277502121×40589641000000     		ar = 983069.25092674m²