Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12626 / 12367
↖ ↑ ↗
← S 67.195517°
E 97.426758°		 ← 946.98 m → S 67.195517°
E 97.448731°		 →
↑
946.79 m
↓
↑
946.79 m
↓
S 67.204032°
E 97.426758°		 ← 946.65 m →
896 441 m²		 S 67.204032°
E 97.448731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770660400390625 y=0.754852294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770660400390625 × 214)
    floor (0.770660400390625 × 16384)
    floor (12626.5)     		tx = 12626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754852294921875 × 214)
    floor (0.754852294921875 × 16384)
    floor (12367.5)     		ty = 12367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12626 / 12367 ti = "14/12626/12367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12626/12367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12626 ÷ 214
    12626 ÷ 16384     		x = 0.7706298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12367 ÷ 214
    12367 ÷ 16384     		y = 0.75482177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7706298828125 × 2 - 1) × π
    0.541259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70041770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75482177734375 × 2 - 1) × π
    -0.5096435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60109244730988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70041770} λ = 1.70041770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60109244730988))-π/2
    2×atan(0.201676077118643)-π/2
    2×0.199006651778369-π/2
    0.398013303556739-1.57079632675     		φ = -1.17278302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70041770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17278302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.195517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12626 KachelY 12367 1.70041770 -1.17278302 97.426758 -67.195517
    Oben rechts KachelX + 1 12627 KachelY 12367 1.70080120 -1.17278302 97.448731 -67.195517
    Unten links KachelX 12626 KachelY + 1 12368 1.70041770 -1.17293163 97.426758 -67.204032
    Unten rechts KachelX + 1 12627 KachelY + 1 12368 1.70080120 -1.17293163 97.448731 -67.204032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17278302--1.17293163) × R
    0.000148609999999882 × 6371000     		dl = 946.794309999251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17278302--1.17293163) × R
    0.000148609999999882 × 6371000     		dr = 946.794309999251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70041770-1.70080120) × cos(-1.17278302) × R
    0.00038349999999987 × 0.387587709387021 × 6371000     		do = 946.984717209236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70041770-1.70080120) × cos(-1.17293163) × R
    0.00038349999999987 × 0.387450711530649 × 6371000     		du = 946.649993292216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17278302)-sin(-1.17293163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387587709387021-0.387450711530649)×R²
    abs(1.70080120-1.70041770)×0.000136997856372001×R²
    0.00038349999999987×0.000136997856372001×6371000²
    0.00038349999999987×0.000136997856372001×40589641000000     		ar = 896441.286208061m²