Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12625 / 12369
↖ ↑ ↗
← S 67.212544°
E 97.404785°		 ← 946.29 m → S 67.212544°
E 97.426758°		 →
↑
946.16 m
↓
↑
946.16 m
↓
S 67.221053°
E 97.404785°		 ← 945.96 m →
895 181 m²		 S 67.221053°
E 97.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770599365234375 y=0.754974365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770599365234375 × 214)
    floor (0.770599365234375 × 16384)
    floor (12625.5)     		tx = 12625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754974365234375 × 214)
    floor (0.754974365234375 × 16384)
    floor (12369.5)     		ty = 12369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12625 / 12369 ti = "14/12625/12369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12625/12369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12625 ÷ 214
    12625 ÷ 16384     		x = 0.77056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12369 ÷ 214
    12369 ÷ 16384     		y = 0.75494384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77056884765625 × 2 - 1) × π
    0.5411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70003421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75494384765625 × 2 - 1) × π
    -0.5098876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6018594377038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70003421} λ = 1.70003421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6018594377038))-π/2
    2×atan(0.20152145281007)-π/2
    2×0.198858066290655-π/2
    0.397716132581309-1.57079632675     		φ = -1.17308019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70003421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17308019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.212544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12625 KachelY 12369 1.70003421 -1.17308019 97.404785 -67.212544
    Oben rechts KachelX + 1 12626 KachelY 12369 1.70041770 -1.17308019 97.426758 -67.212544
    Unten links KachelX 12625 KachelY + 1 12370 1.70003421 -1.17322870 97.404785 -67.221053
    Unten rechts KachelX + 1 12626 KachelY + 1 12370 1.70041770 -1.17322870 97.426758 -67.221053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17308019--1.17322870) × R
    0.000148509999999824 × 6371000     		dl = 946.157209998879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17308019--1.17322870) × R
    0.000148509999999824 × 6371000     		dr = 946.157209998879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70003421-1.70041770) × cos(-1.17308019) × R
    0.000383489999999931 × 0.387313751214853 × 6371000     		do = 946.290685338339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70003421-1.70041770) × cos(-1.17322870) × R
    0.000383489999999931 × 0.387176828451289 × 6371000     		du = 945.956153617311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17308019)-sin(-1.17322870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387313751214853-0.387176828451289)×R²
    abs(1.70041770-1.70003421)×0.00013692276356414×R²
    0.000383489999999931×0.00013692276356414×6371000²
    0.000383489999999931×0.00013692276356414×40589641000000     		ar = 895181.496532539m²