Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12625 / 12343
↖ ↑ ↗
← S 66.990256°
E 97.404785°		 ← 955.02 m → S 66.990256°
E 97.426758°		 →
↑
954.89 m
↓
↑
954.89 m
↓
S 66.998844°
E 97.404785°		 ← 954.69 m →
911 776 m²		 S 66.998844°
E 97.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770599365234375 y=0.753387451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770599365234375 × 214)
    floor (0.770599365234375 × 16384)
    floor (12625.5)     		tx = 12625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753387451171875 × 214)
    floor (0.753387451171875 × 16384)
    floor (12343.5)     		ty = 12343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12625 / 12343 ti = "14/12625/12343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12625/12343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12625 ÷ 214
    12625 ÷ 16384     		x = 0.77056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12343 ÷ 214
    12343 ÷ 16384     		y = 0.75335693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77056884765625 × 2 - 1) × π
    0.5411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70003421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75335693359375 × 2 - 1) × π
    -0.5067138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59188856258282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70003421} λ = 1.70003421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59188856258282))-π/2
    2×atan(0.203540848892925)-π/2
    2×0.200797892350903-π/2
    0.401595784701806-1.57079632675     		φ = -1.16920054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70003421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16920054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.990256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12625 KachelY 12343 1.70003421 -1.16920054 97.404785 -66.990256
    Oben rechts KachelX + 1 12626 KachelY 12343 1.70041770 -1.16920054 97.426758 -66.990256
    Unten links KachelX 12625 KachelY + 1 12344 1.70003421 -1.16935042 97.404785 -66.998844
    Unten rechts KachelX + 1 12626 KachelY + 1 12344 1.70041770 -1.16935042 97.426758 -66.998844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16920054--1.16935042) × R
    0.000149879999999936 × 6371000     		dl = 954.88547999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16920054--1.16935042) × R
    0.000149879999999936 × 6371000     		dr = 954.88547999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70003421-1.70041770) × cos(-1.16920054) × R
    0.000383489999999931 × 0.390887662822641 × 6371000     		do = 955.022519036637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70003421-1.70041770) × cos(-1.16935042) × R
    0.000383489999999931 × 0.390749703126382 × 6371000     		du = 954.685453866314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16920054)-sin(-1.16935042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390887662822641-0.390749703126382)×R²
    abs(1.70041770-1.70003421)×0.000137959696258516×R²
    0.000383489999999931×0.000137959696258516×6371000²
    0.000383489999999931×0.000137959696258516×40589641000000     		ar = 911776.208888258m²