Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12623 / 12273
↖ ↑ ↗
← S 66.381560°
E 97.360840°		 ← 978.86 m → S 66.381560°
E 97.382812°		 →
↑
978.71 m
↓
↑
978.71 m
↓
S 66.390362°
E 97.360840°		 ← 978.52 m →
957 854 m²		 S 66.390362°
E 97.382812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770477294921875 y=0.749114990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770477294921875 × 214)
    floor (0.770477294921875 × 16384)
    floor (12623.5)     		tx = 12623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749114990234375 × 214)
    floor (0.749114990234375 × 16384)
    floor (12273.5)     		ty = 12273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12623 / 12273 ti = "14/12623/12273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12623/12273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12623 ÷ 214
    12623 ÷ 16384     		x = 0.77044677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12273 ÷ 214
    12273 ÷ 16384     		y = 0.74908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77044677734375 × 2 - 1) × π
    0.5408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69926722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.4981689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56504389879559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69926722} λ = 1.69926722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56504389879559))-π/2
    2×atan(0.209078834662796)-π/2
    2×0.20610977318946-π/2
    0.412219546378919-1.57079632675     		φ = -1.15857678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69926722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.360840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15857678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.381560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12623 KachelY 12273 1.69926722 -1.15857678 97.360840 -66.381560
    Oben rechts KachelX + 1 12624 KachelY 12273 1.69965071 -1.15857678 97.382812 -66.381560
    Unten links KachelX 12623 KachelY + 1 12274 1.69926722 -1.15873040 97.360840 -66.390362
    Unten rechts KachelX + 1 12624 KachelY + 1 12274 1.69965071 -1.15873040 97.382812 -66.390362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15857678--1.15873040) × R
    0.000153620000000076 × 6371000     		dl = 978.713020000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15857678--1.15873040) × R
    0.000153620000000076 × 6371000     		dr = 978.713020000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69926722-1.69965071) × cos(-1.15857678) × R
    0.000383489999999931 × 0.400643937044189 × 6371000     		do = 978.859192510015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69926722-1.69965071) × cos(-1.15873040) × R
    0.000383489999999931 × 0.400503180475984 × 6371000     		du = 978.515293980786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15857678)-sin(-1.15873040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400643937044189-0.400503180475984)×R²
    abs(1.69965071-1.69926722)×0.000140756568205114×R²
    0.000383489999999931×0.000140756568205114×6371000²
    0.000383489999999931×0.000140756568205114×40589641000000     		ar = 957853.949357798m²