Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12623 / 12271
↖ ↑ ↗
← S 66.363947°
E 97.360840°		 ← 979.55 m → S 66.363947°
E 97.382812°		 →
↑
979.41 m
↓
↑
979.41 m
↓
S 66.372755°
E 97.360840°		 ← 979.20 m →
959 214 m²		 S 66.372755°
E 97.382812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770477294921875 y=0.748992919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770477294921875 × 214)
    floor (0.770477294921875 × 16384)
    floor (12623.5)     		tx = 12623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748992919921875 × 214)
    floor (0.748992919921875 × 16384)
    floor (12271.5)     		ty = 12271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12623 / 12271 ti = "14/12623/12271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12623/12271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12623 ÷ 214
    12623 ÷ 16384     		x = 0.77044677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12271 ÷ 214
    12271 ÷ 16384     		y = 0.74896240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77044677734375 × 2 - 1) × π
    0.5408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69926722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74896240234375 × 2 - 1) × π
    -0.4979248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56427690840167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69926722} λ = 1.69926722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56427690840167))-π/2
    2×atan(0.209239257634129)-π/2
    2×0.206263472211538-π/2
    0.412526944423076-1.57079632675     		φ = -1.15826938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69926722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.360840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15826938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.363947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12623 KachelY 12271 1.69926722 -1.15826938 97.360840 -66.363947
    Oben rechts KachelX + 1 12624 KachelY 12271 1.69965071 -1.15826938 97.382812 -66.363947
    Unten links KachelX 12623 KachelY + 1 12272 1.69926722 -1.15842311 97.360840 -66.372755
    Unten rechts KachelX + 1 12624 KachelY + 1 12272 1.69965071 -1.15842311 97.382812 -66.372755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15826938--1.15842311) × R
    0.000153730000000074 × 6371000     		dl = 979.413830000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15826938--1.15842311) × R
    0.000153730000000074 × 6371000     		dr = 979.413830000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69926722-1.69965071) × cos(-1.15826938) × R
    0.000383489999999931 × 0.400925568390469 × 6371000     		do = 979.547278380574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69926722-1.69965071) × cos(-1.15842311) × R
    0.000383489999999931 × 0.400784729966169 × 6371000     		du = 979.203179859324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15826938)-sin(-1.15842311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400925568390469-0.400784729966169)×R²
    abs(1.69965071-1.69926722)×0.000140838424300294×R²
    0.000383489999999931×0.000140838424300294×6371000²
    0.000383489999999931×0.000140838424300294×40589641000000     		ar = 959213.646049729m²