Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 12622 / 17775
↖ ↑ ↗
← N 63.275652°
W110.665283°		 ← 274.67 m → N 63.275652°
W110.659790°		 →
↑
274.65 m
↓
↑
274.65 m
↓
N 63.273182°
W110.665283°		 ← 274.69 m →
75 443 m²		 N 63.273182°
W110.659790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.192604064941406 y=0.271232604980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.192604064941406 × 216)
    floor (0.192604064941406 × 65536)
    floor (12622.5)     		tx = 12622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271232604980469 × 216)
    floor (0.271232604980469 × 65536)
    floor (17775.5)     		ty = 17775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 12622 / 17775 ti = "16/12622/17775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/12622/17775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12622 ÷ 216
    12622 ÷ 65536     		x = 0.192596435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17775 ÷ 216
    17775 ÷ 65536     		y = 0.271224975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.192596435546875 × 2 - 1) × π
    -0.61480712890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.93147356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271224975585938 × 2 - 1) × π
    0.457550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.437435872007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93147356} λ = -1.93147356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.437435872007))-π/2
    2×atan(4.20988727586566)-π/2
    2×1.33758240004832-π/2
    2.67516480009664-1.57079632675     		φ = 1.10436847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93147356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -110.665283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10436847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.275652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12622 KachelY 17775 -1.93147356 1.10436847 -110.665283 63.275652
    Oben rechts KachelX + 1 12623 KachelY 17775 -1.93137769 1.10436847 -110.659790 63.275652
    Unten links KachelX 12622 KachelY + 1 17776 -1.93147356 1.10432536 -110.665283 63.273182
    Unten rechts KachelX + 1 12623 KachelY + 1 17776 -1.93137769 1.10432536 -110.659790 63.273182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10436847-1.10432536) × R
    4.31100000000129e-05 × 6371000     		dl = 274.653810000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10436847-1.10432536) × R
    4.31100000000129e-05 × 6371000     		dr = 274.653810000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93147356--1.93137769) × cos(1.10436847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44969859309132 × 6371000     		do = 274.670400846379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93147356--1.93137769) × cos(1.10432536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449737097679231 × 6371000     		du = 274.693918977764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10436847)-sin(1.10432536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44969859309132-0.449737097679231)×R²
    abs(-1.93137769--1.93147356)×3.8504587911381e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8504587911381e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8504587911381e-05×40589641000000     		ar = 75442.5017705828m²