Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12622 / 12386
↖ ↑ ↗
← S 67.356785°
E 97.338867°		 ← 940.64 m → S 67.356785°
E 97.360840°		 →
↑
940.42 m
↓
↑
940.42 m
↓
S 67.365243°
E 97.338867°		 ← 940.31 m →
884 445 m²		 S 67.365243°
E 97.360840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770416259765625 y=0.756011962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770416259765625 × 214)
    floor (0.770416259765625 × 16384)
    floor (12622.5)     		tx = 12622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756011962890625 × 214)
    floor (0.756011962890625 × 16384)
    floor (12386.5)     		ty = 12386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12622 / 12386 ti = "14/12622/12386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12622/12386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12622 ÷ 214
    12622 ÷ 16384     		x = 0.7703857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12386 ÷ 214
    12386 ÷ 16384     		y = 0.7559814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7703857421875 × 2 - 1) × π
    0.540771484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69888372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7559814453125 × 2 - 1) × π
    -0.511962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60837885605212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69888372} λ = 1.69888372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60837885605212))-π/2
    2×atan(0.200211923476042)-π/2
    2×0.197599324115864-π/2
    0.395198648231729-1.57079632675     		φ = -1.17559768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69888372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.338867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17559768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.356785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12622 KachelY 12386 1.69888372 -1.17559768 97.338867 -67.356785
    Oben rechts KachelX + 1 12623 KachelY 12386 1.69926722 -1.17559768 97.360840 -67.356785
    Unten links KachelX 12622 KachelY + 1 12387 1.69888372 -1.17574529 97.338867 -67.365243
    Unten rechts KachelX + 1 12623 KachelY + 1 12387 1.69926722 -1.17574529 97.360840 -67.365243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17559768--1.17574529) × R
    0.000147609999999965 × 6371000     		dl = 940.423309999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17559768--1.17574529) × R
    0.000147609999999965 × 6371000     		dr = 940.423309999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69888372-1.69926722) × cos(-1.17559768) × R
    0.000383500000000092 × 0.384991531523879 × 6371000     		do = 940.641531654592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69888372-1.69926722) × cos(-1.17574529) × R
    0.000383500000000092 × 0.384855295093405 × 6371000     		du = 940.308668113097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17559768)-sin(-1.17574529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384991531523879-0.384855295093405)×R²
    abs(1.69926722-1.69888372)×0.000136236430474446×R²
    0.000383500000000092×0.000136236430474446×6371000²
    0.000383500000000092×0.000136236430474446×40589641000000     		ar = 884444.708010586m²