Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12622 / 12368
↖ ↑ ↗
← S 67.204032°
E 97.338867°		 ← 946.65 m → S 67.204032°
E 97.360840°		 →
↑
946.48 m
↓
↑
946.48 m
↓
S 67.212544°
E 97.338867°		 ← 946.32 m →
895 823 m²		 S 67.212544°
E 97.360840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770416259765625 y=0.754913330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770416259765625 × 214)
    floor (0.770416259765625 × 16384)
    floor (12622.5)     		tx = 12622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754913330078125 × 214)
    floor (0.754913330078125 × 16384)
    floor (12368.5)     		ty = 12368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12622 / 12368 ti = "14/12622/12368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12622/12368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12622 ÷ 214
    12622 ÷ 16384     		x = 0.7703857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12368 ÷ 214
    12368 ÷ 16384     		y = 0.7548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7703857421875 × 2 - 1) × π
    0.540771484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69888372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7548828125 × 2 - 1) × π
    -0.509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60147594250684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69888372} λ = 1.69888372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60147594250684))-π/2
    2×atan(0.201598750139937)-π/2
    2×0.198932345901764-π/2
    0.397864691803527-1.57079632675     		φ = -1.17293163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69888372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.338867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17293163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.204032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12622 KachelY 12368 1.69888372 -1.17293163 97.338867 -67.204032
    Oben rechts KachelX + 1 12623 KachelY 12368 1.69926722 -1.17293163 97.360840 -67.204032
    Unten links KachelX 12622 KachelY + 1 12369 1.69888372 -1.17308019 97.338867 -67.212544
    Unten rechts KachelX + 1 12623 KachelY + 1 12369 1.69926722 -1.17308019 97.360840 -67.212544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17293163--1.17308019) × R
    0.000148560000000186 × 6371000     		dl = 946.475760001187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17293163--1.17308019) × R
    0.000148560000000186 × 6371000     		dr = 946.475760001187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69888372-1.69926722) × cos(-1.17293163) × R
    0.000383500000000092 × 0.387450711530649 × 6371000     		do = 946.649993292764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69888372-1.69926722) × cos(-1.17308019) × R
    0.000383500000000092 × 0.387313751214853 × 6371000     		du = 946.315361097827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17293163)-sin(-1.17308019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387450711530649-0.387313751214853)×R²
    abs(1.69926722-1.69888372)×0.00013696031579602×R²
    0.000383500000000092×0.00013696031579602×6371000²
    0.000383500000000092×0.00013696031579602×40589641000000     		ar = 895822.912875249m²