Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12620 / 12406
↖ ↑ ↗
← S 67.525374°
E 97.294922°		 ← 934 m → S 67.525374°
E 97.316895°		 →
↑
933.80 m
↓
↑
933.80 m
↓
S 67.533772°
E 97.294922°		 ← 933.67 m →
872 015 m²		 S 67.533772°
E 97.316895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770294189453125 y=0.757232666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770294189453125 × 214)
    floor (0.770294189453125 × 16384)
    floor (12620.5)     		tx = 12620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757232666015625 × 214)
    floor (0.757232666015625 × 16384)
    floor (12406.5)     		ty = 12406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12620 / 12406 ti = "14/12620/12406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12620/12406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12620 ÷ 214
    12620 ÷ 16384     		x = 0.770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12406 ÷ 214
    12406 ÷ 16384     		y = 0.7572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770263671875 × 2 - 1) × π
    0.54052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69811673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7572021484375 × 2 - 1) × π
    -0.514404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61604875999133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69811673} λ = 1.69811673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61604875999133))-π/2
    2×atan(0.198682191204462)-π/2
    2×0.196128115484731-π/2
    0.392256230969463-1.57079632675     		φ = -1.17854010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69811673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17854010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.525374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12620 KachelY 12406 1.69811673 -1.17854010 97.294922 -67.525374
    Oben rechts KachelX + 1 12621 KachelY 12406 1.69850023 -1.17854010 97.316895 -67.525374
    Unten links KachelX 12620 KachelY + 1 12407 1.69811673 -1.17868667 97.294922 -67.533772
    Unten rechts KachelX + 1 12621 KachelY + 1 12407 1.69850023 -1.17868667 97.316895 -67.533772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17854010--1.17868667) × R
    0.000146570000000068 × 6371000     		dl = 933.797470000433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17854010--1.17868667) × R
    0.000146570000000068 × 6371000     		dr = 933.797470000433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69811673-1.69850023) × cos(-1.17854010) × R
    0.000383500000000092 × 0.382274250270919 × 6371000     		do = 934.00245679078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69811673-1.69850023) × cos(-1.17868667) × R
    0.000383500000000092 × 0.382138808315757 × 6371000     		du = 933.671534373735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17854010)-sin(-1.17868667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382274250270919-0.382138808315757)×R²
    abs(1.69850023-1.69811673)×0.000135441955161797×R²
    0.000383500000000092×0.000135441955161797×6371000²
    0.000383500000000092×0.000135441955161797×40589641000000     		ar = 872014.625428543m²