Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 12618 / 17609
↖ ↑ ↗
← N 63.682813°
W110.687256°		 ← 270.79 m → N 63.682813°
W110.681763°		 →
↑
270.83 m
↓
↑
270.83 m
↓
N 63.680377°
W110.687256°		 ← 270.81 m →
73 341 m²		 N 63.680377°
W110.681763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.192543029785156 y=0.268699645996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.192543029785156 × 216)
    floor (0.192543029785156 × 65536)
    floor (12618.5)     		tx = 12618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268699645996094 × 216)
    floor (0.268699645996094 × 65536)
    floor (17609.5)     		ty = 17609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 12618 / 17609 ti = "16/12618/17609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/12618/17609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12618 ÷ 216
    12618 ÷ 65536     		x = 0.192535400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17609 ÷ 216
    17609 ÷ 65536     		y = 0.268692016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.192535400390625 × 2 - 1) × π
    -0.61492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.93185705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268692016601562 × 2 - 1) × π
    0.462615966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45335092268086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93185705} λ = -1.93185705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45335092268086))-π/2
    2×atan(4.27742384362587)-π/2
    2×1.34113554392729-π/2
    2.68227108785457-1.57079632675     		φ = 1.11147476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93185705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -110.687256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11147476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.682813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12618 KachelY 17609 -1.93185705 1.11147476 -110.687256 63.682813
    Oben rechts KachelX + 1 12619 KachelY 17609 -1.93176118 1.11147476 -110.681763 63.682813
    Unten links KachelX 12618 KachelY + 1 17610 -1.93185705 1.11143225 -110.687256 63.680377
    Unten rechts KachelX + 1 12619 KachelY + 1 17610 -1.93176118 1.11143225 -110.681763 63.680377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11147476-1.11143225) × R
    4.25099999998846e-05 × 6371000     		dl = 270.831209999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11147476-1.11143225) × R
    4.25099999998846e-05 × 6371000     		dr = 270.831209999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93185705--1.93176118) × cos(1.11147476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443340093075965 × 6371000     		do = 270.786706801455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93185705--1.93176118) × cos(1.11143225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443378196661826 × 6371000     		du = 270.809980005692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11147476)-sin(1.11143225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443340093075965-0.443378196661826)×R²
    abs(-1.93176118--1.93185705)×3.8103585861371e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8103585861371e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8103585861371e-05×40589641000000     		ar = 73340.6430209867m²