Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 12616 / 17608
↖ ↑ ↗
← N 63.685248°
W110.698242°		 ← 270.76 m → N 63.685248°
W110.692749°		 →
↑
270.77 m
↓
↑
270.77 m
↓
N 63.682813°
W110.698242°		 ← 270.79 m →
73 317 m²		 N 63.682813°
W110.692749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.192512512207031 y=0.268684387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.192512512207031 × 216)
    floor (0.192512512207031 × 65536)
    floor (12616.5)     		tx = 12616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268684387207031 × 216)
    floor (0.268684387207031 × 65536)
    floor (17608.5)     		ty = 17608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 12616 / 17608 ti = "16/12616/17608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/12616/17608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12616 ÷ 216
    12616 ÷ 65536     		x = 0.1925048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17608 ÷ 216
    17608 ÷ 65536     		y = 0.2686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1925048828125 × 2 - 1) × π
    -0.614990234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.93204880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2686767578125 × 2 - 1) × π
    0.462646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4534467964801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93204880} λ = -1.93204880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4534467964801))-π/2
    2×atan(4.27783395615993)-π/2
    2×1.34115679536362-π/2
    2.68231359072724-1.57079632675     		φ = 1.11151726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93204880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -110.698242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11151726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.685248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12616 KachelY 17608 -1.93204880 1.11151726 -110.698242 63.685248
    Oben rechts KachelX + 1 12617 KachelY 17608 -1.93195293 1.11151726 -110.692749 63.685248
    Unten links KachelX 12616 KachelY + 1 17609 -1.93204880 1.11147476 -110.698242 63.682813
    Unten rechts KachelX + 1 12617 KachelY + 1 17609 -1.93195293 1.11147476 -110.692749 63.682813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11151726-1.11147476) × R
    4.25000000001674e-05 × 6371000     		dl = 270.767500001067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11151726-1.11147476) × R
    4.25000000001674e-05 × 6371000     		dr = 270.767500001067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93204880--1.93195293) × cos(1.11151726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443301997652667 × 6371000     		do = 270.763438582812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93204880--1.93195293) × cos(1.11147476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443340093075965 × 6371000     		du = 270.786706801455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11151726)-sin(1.11147476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443301997652667-0.443340093075965)×R²
    abs(-1.93195293--1.93204880)×3.80954232982456e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80954232982456e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80954232982456e-05×40589641000000     		ar = 73317.0895063136m²