Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12615 / 12368
↖ ↑ ↗
← S 67.204032°
E 97.185059°		 ← 946.63 m → S 67.204032°
E 97.207031°		 →
↑
946.48 m
↓
↑
946.48 m
↓
S 67.212544°
E 97.185059°		 ← 946.29 m →
895 800 m²		 S 67.212544°
E 97.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769989013671875 y=0.754913330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769989013671875 × 214)
    floor (0.769989013671875 × 16384)
    floor (12615.5)     		tx = 12615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754913330078125 × 214)
    floor (0.754913330078125 × 16384)
    floor (12368.5)     		ty = 12368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12615 / 12368 ti = "14/12615/12368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12615/12368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12615 ÷ 214
    12615 ÷ 16384     		x = 0.76995849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12368 ÷ 214
    12368 ÷ 16384     		y = 0.7548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76995849609375 × 2 - 1) × π
    0.5399169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69619926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7548828125 × 2 - 1) × π
    -0.509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60147594250684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69619926} λ = 1.69619926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60147594250684))-π/2
    2×atan(0.201598750139937)-π/2
    2×0.198932345901764-π/2
    0.397864691803527-1.57079632675     		φ = -1.17293163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69619926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.185059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17293163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.204032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12615 KachelY 12368 1.69619926 -1.17293163 97.185059 -67.204032
    Oben rechts KachelX + 1 12616 KachelY 12368 1.69658275 -1.17293163 97.207031 -67.204032
    Unten links KachelX 12615 KachelY + 1 12369 1.69619926 -1.17308019 97.185059 -67.212544
    Unten rechts KachelX + 1 12616 KachelY + 1 12369 1.69658275 -1.17308019 97.207031 -67.212544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17293163--1.17308019) × R
    0.000148560000000186 × 6371000     		dl = 946.475760001187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17293163--1.17308019) × R
    0.000148560000000186 × 6371000     		dr = 946.475760001187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69619926-1.69658275) × cos(-1.17293163) × R
    0.000383489999999931 × 0.387450711530649 × 6371000     		do = 946.625308807535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69619926-1.69658275) × cos(-1.17308019) × R
    0.000383489999999931 × 0.387313751214853 × 6371000     		du = 946.290685338339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17293163)-sin(-1.17308019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387450711530649-0.387313751214853)×R²
    abs(1.69658275-1.69619926)×0.00013696031579602×R²
    0.000383489999999931×0.00013696031579602×6371000²
    0.000383489999999931×0.00013696031579602×40589641000000     		ar = 895799.553737639m²