Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12615 / 12366
↖ ↑ ↗
← S 67.187000°
E 97.185059°		 ← 947.29 m → S 67.187000°
E 97.207031°		 →
↑
947.11 m
↓
↑
947.11 m
↓
S 67.195517°
E 97.185059°		 ← 946.96 m →
897 037 m²		 S 67.195517°
E 97.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769989013671875 y=0.754791259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769989013671875 × 214)
    floor (0.769989013671875 × 16384)
    floor (12615.5)     		tx = 12615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754791259765625 × 214)
    floor (0.754791259765625 × 16384)
    floor (12366.5)     		ty = 12366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12615 / 12366 ti = "14/12615/12366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12615/12366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12615 ÷ 214
    12615 ÷ 16384     		x = 0.76995849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12366 ÷ 214
    12366 ÷ 16384     		y = 0.7547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76995849609375 × 2 - 1) × π
    0.5399169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69619926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7547607421875 × 2 - 1) × π
    -0.509521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60070895211291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69619926} λ = 1.69619926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60070895211291))-π/2
    2×atan(0.201753433757562)-π/2
    2×0.199080983928118-π/2
    0.398161967856237-1.57079632675     		φ = -1.17263436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69619926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.185059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17263436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.187000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12615 KachelY 12366 1.69619926 -1.17263436 97.185059 -67.187000
    Oben rechts KachelX + 1 12616 KachelY 12366 1.69658275 -1.17263436 97.207031 -67.187000
    Unten links KachelX 12615 KachelY + 1 12367 1.69619926 -1.17278302 97.185059 -67.195517
    Unten rechts KachelX + 1 12616 KachelY + 1 12367 1.69658275 -1.17278302 97.207031 -67.195517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17263436--1.17278302) × R
    0.000148660000000023 × 6371000     		dl = 947.112860000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17263436--1.17278302) × R
    0.000148660000000023 × 6371000     		dr = 947.112860000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69619926-1.69658275) × cos(-1.17263436) × R
    0.000383489999999931 × 0.387724744772306 × 6371000     		do = 947.294830876501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69619926-1.69658275) × cos(-1.17278302) × R
    0.000383489999999931 × 0.387587709387021 × 6371000     		du = 946.960023996421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17263436)-sin(-1.17278302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387724744772306-0.387587709387021)×R²
    abs(1.69658275-1.69619926)×0.000137035385284479×R²
    0.000383489999999931×0.000137035385284479×6371000²
    0.000383489999999931×0.000137035385284479×40589641000000     		ar = 897036.568236897m²