Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12612 / 12349
↖ ↑ ↗
← S 67.041735°
E 97.119141°		 ← 953.03 m → S 67.041735°
E 97.141114°		 →
↑
952.85 m
↓
↑
952.85 m
↓
S 67.050304°
E 97.119141°		 ← 952.69 m →
907 928 m²		 S 67.050304°
E 97.141114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769805908203125 y=0.753753662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769805908203125 × 214)
    floor (0.769805908203125 × 16384)
    floor (12612.5)     		tx = 12612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753753662109375 × 214)
    floor (0.753753662109375 × 16384)
    floor (12349.5)     		ty = 12349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12612 / 12349 ti = "14/12612/12349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12612/12349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12612 ÷ 214
    12612 ÷ 16384     		x = 0.769775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12349 ÷ 214
    12349 ÷ 16384     		y = 0.75372314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769775390625 × 2 - 1) × π
    0.53955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69504877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75372314453125 × 2 - 1) × π
    -0.5074462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59418953376459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69504877} λ = 1.69504877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59418953376459))-π/2
    2×atan(0.203073045672573)-π/2
    2×0.200348657675404-π/2
    0.400697315350807-1.57079632675     		φ = -1.17009901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69504877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.119141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17009901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.041735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12612 KachelY 12349 1.69504877 -1.17009901 97.119141 -67.041735
    Oben rechts KachelX + 1 12613 KachelY 12349 1.69543227 -1.17009901 97.141114 -67.041735
    Unten links KachelX 12612 KachelY + 1 12350 1.69504877 -1.17024857 97.119141 -67.050304
    Unten rechts KachelX + 1 12613 KachelY + 1 12350 1.69543227 -1.17024857 97.141114 -67.050304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17009901--1.17024857) × R
    0.000149560000000104 × 6371000     		dl = 952.846760000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17009901--1.17024857) × R
    0.000149560000000104 × 6371000     		dr = 952.846760000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69504877-1.69543227) × cos(-1.17009901) × R
    0.00038349999999987 × 0.390060518879373 × 6371000     		do = 953.026479476493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69504877-1.69543227) × cos(-1.17024857) × R
    0.00038349999999987 × 0.389922801281348 × 6371000     		du = 952.689997030167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17009901)-sin(-1.17024857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390060518879373-0.389922801281348)×R²
    abs(1.69543227-1.69504877)×0.000137717598024722×R²
    0.00038349999999987×0.000137717598024722×6371000²
    0.00038349999999987×0.000137717598024722×40589641000000     		ar = 907927.88675082m²