Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12610 / 12409
↖ ↑ ↗
← S 67.550559°
E 97.075195°		 ← 933.01 m → S 67.550559°
E 97.097168°		 →
↑
932.84 m
↓
↑
932.84 m
↓
S 67.558948°
E 97.075195°		 ← 932.68 m →
870 196 m²		 S 67.558948°
E 97.097168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769683837890625 y=0.757415771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769683837890625 × 214)
    floor (0.769683837890625 × 16384)
    floor (12610.5)     		tx = 12610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757415771484375 × 214)
    floor (0.757415771484375 × 16384)
    floor (12409.5)     		ty = 12409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12610 / 12409 ti = "14/12610/12409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12610/12409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12610 ÷ 214
    12610 ÷ 16384     		x = 0.7696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12409 ÷ 214
    12409 ÷ 16384     		y = 0.75738525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7696533203125 × 2 - 1) × π
    0.539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69428178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75738525390625 × 2 - 1) × π
    -0.5147705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61719924558221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69428178} λ = 1.69428178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61719924558221))-π/2
    2×atan(0.198453741645478)-π/2
    2×0.195908331828492-π/2
    0.391816663656985-1.57079632675     		φ = -1.17897966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69428178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17897966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.550559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12610 KachelY 12409 1.69428178 -1.17897966 97.075195 -67.550559
    Oben rechts KachelX + 1 12611 KachelY 12409 1.69466528 -1.17897966 97.097168 -67.550559
    Unten links KachelX 12610 KachelY + 1 12410 1.69428178 -1.17912608 97.075195 -67.558948
    Unten rechts KachelX + 1 12611 KachelY + 1 12410 1.69466528 -1.17912608 97.097168 -67.558948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17897966--1.17912608) × R
    0.000146420000000091 × 6371000     		dl = 932.841820000583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17897966--1.17912608) × R
    0.000146420000000091 × 6371000     		dr = 932.841820000583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69428178-1.69466528) × cos(-1.17897966) × R
    0.00038349999999987 × 0.381868038412682 × 6371000     		do = 933.009968090564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69428178-1.69466528) × cos(-1.17912608) × R
    0.00038349999999987 × 0.381732710487368 × 6371000     		du = 932.679324280195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17897966)-sin(-1.17912608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381868038412682-0.381732710487368)×R²
    abs(1.69466528-1.69428178)×0.000135327925313955×R²
    0.00038349999999987×0.000135327925313955×6371000²
    0.00038349999999987×0.000135327925313955×40589641000000     		ar = 870196.49908134m²