Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12610 / 12370
↖ ↑ ↗
← S 67.221053°
E 97.075195°		 ← 945.98 m → S 67.221053°
E 97.097168°		 →
↑
945.84 m
↓
↑
945.84 m
↓
S 67.229559°
E 97.075195°		 ← 945.65 m →
894 587 m²		 S 67.229559°
E 97.097168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769683837890625 y=0.755035400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769683837890625 × 214)
    floor (0.769683837890625 × 16384)
    floor (12610.5)     		tx = 12610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755035400390625 × 214)
    floor (0.755035400390625 × 16384)
    floor (12370.5)     		ty = 12370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12610 / 12370 ti = "14/12610/12370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12610/12370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12610 ÷ 214
    12610 ÷ 16384     		x = 0.7696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12370 ÷ 214
    12370 ÷ 16384     		y = 0.7550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7696533203125 × 2 - 1) × π
    0.539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69428178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7550048828125 × 2 - 1) × π
    -0.510009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60224293290076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69428178} λ = 1.69428178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60224293290076))-π/2
    2×atan(0.201444185117674)-π/2
    2×0.198783812937397-π/2
    0.397567625874794-1.57079632675     		φ = -1.17322870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69428178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17322870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.221053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12610 KachelY 12370 1.69428178 -1.17322870 97.075195 -67.221053
    Oben rechts KachelX + 1 12611 KachelY 12370 1.69466528 -1.17322870 97.097168 -67.221053
    Unten links KachelX 12610 KachelY + 1 12371 1.69428178 -1.17337716 97.075195 -67.229559
    Unten rechts KachelX + 1 12611 KachelY + 1 12371 1.69466528 -1.17337716 97.097168 -67.229559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17322870--1.17337716) × R
    0.000148460000000128 × 6371000     		dl = 945.838660000815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17322870--1.17337716) × R
    0.000148460000000128 × 6371000     		dr = 945.838660000815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69428178-1.69466528) × cos(-1.17322870) × R
    0.00038349999999987 × 0.387176828451289 × 6371000     		do = 945.980820652902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69428178-1.69466528) × cos(-1.17337716) × R
    0.00038349999999987 × 0.387039943251602 × 6371000     		du = 945.64637198754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17322870)-sin(-1.17337716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387176828451289-0.387039943251602)×R²
    abs(1.69466528-1.69428178)×0.000136885199686687×R²
    0.00038349999999987×0.000136885199686687×6371000²
    0.00038349999999987×0.000136885199686687×40589641000000     		ar = 894587.066197894m²