Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1261 / 302
↖ ↑ ↗
← N 77.542096°
E 41.660156°		 ← 4 216.52 m → N 77.542096°
E 41.835938°		 →
↑
4 222.83 m
↓
↑
4 222.83 m
↓
N 77.504119°
E 41.660156°		 ← 4 229.16 m →
17 832 320 m²		 N 77.504119°
E 41.835938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615966796875 y=0.147705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615966796875 × 211)
    floor (0.615966796875 × 2048)
    floor (1261.5)     		tx = 1261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147705078125 × 211)
    floor (0.147705078125 × 2048)
    floor (302.5)     		ty = 302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1261 / 302 ti = "11/1261/302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1261/302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1261 ÷ 211
    1261 ÷ 2048     		x = 0.61572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 302 ÷ 211
    302 ÷ 2048     		y = 0.1474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61572265625 × 2 - 1) × π
    0.2314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.72710689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1474609375 × 2 - 1) × π
    0.705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21506825764355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72710689} λ = 0.72710689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21506825764355))-π/2
    2×atan(9.16203446914887)-π/2
    2×1.46208060509691-π/2
    2.92416121019382-1.57079632675     		φ = 1.35336488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72710689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.660156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35336488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.542096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1261 KachelY 302 0.72710689 1.35336488 41.660156 77.542096
    Oben rechts KachelX + 1 1262 KachelY 302 0.73017486 1.35336488 41.835938 77.542096
    Unten links KachelX 1261 KachelY + 1 303 0.72710689 1.35270206 41.660156 77.504119
    Unten rechts KachelX + 1 1262 KachelY + 1 303 0.73017486 1.35270206 41.835938 77.504119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35336488-1.35270206) × R
    0.000662820000000064 × 6371000     		dl = 4222.82622000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35336488-1.35270206) × R
    0.000662820000000064 × 6371000     		dr = 4222.82622000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72710689-0.73017486) × cos(1.35336488) × R
    0.00306797000000003 × 0.215722261434972 × 6371000     		do = 4216.51527568778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72710689-0.73017486) × cos(1.35270206) × R
    0.00306797000000003 × 0.216369427747516 × 6371000     		du = 4229.16481229379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35336488)-sin(1.35270206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215722261434972-0.216369427747516)×R²
    abs(0.73017486-0.72710689)×0.000647166312543995×R²
    0.00306797000000003×0.000647166312543995×6371000²
    0.00306797000000003×0.000647166312543995×40589641000000     		ar = 17832320.3134871m²