Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12608 / 20797
↖ ↑ ↗
← S 43.556511°
W 41.484375°		 ← 885.32 m → S 43.556511°
W 41.473388°		 →
↑
885.25 m
↓
↑
885.25 m
↓
S 43.564472°
W 41.484375°		 ← 885.20 m →
783 675 m²		 S 43.564472°
W 41.473388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384780883789062 y=0.634689331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384780883789062 × 215)
    floor (0.384780883789062 × 32768)
    floor (12608.5)     		tx = 12608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634689331054688 × 215)
    floor (0.634689331054688 × 32768)
    floor (20797.5)     		ty = 20797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12608 / 20797 ti = "15/12608/20797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12608/20797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12608 ÷ 215
    12608 ÷ 32768     		x = 0.384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20797 ÷ 215
    20797 ÷ 32768     		y = 0.634674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384765625 × 2 - 1) × π
    -0.23046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72403893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634674072265625 × 2 - 1) × π
    -0.26934814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.846182152093231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72403893} λ = -0.72403893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846182152093231))-π/2
    2×atan(0.429049856112004)-π/2
    2×0.405295905044387-π/2
    0.810591810088773-1.57079632675     		φ = -0.76020452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72403893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76020452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.556511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12608 KachelY 20797 -0.72403893 -0.76020452 -41.484375 -43.556511
    Oben rechts KachelX + 1 12609 KachelY 20797 -0.72384718 -0.76020452 -41.473388 -43.556511
    Unten links KachelX 12608 KachelY + 1 20798 -0.72403893 -0.76034347 -41.484375 -43.564472
    Unten rechts KachelX + 1 12609 KachelY + 1 20798 -0.72384718 -0.76034347 -41.473388 -43.564472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76020452--0.76034347) × R
    0.000138949999999971 × 6371000     		dl = 885.250449999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76020452--0.76034347) × R
    0.000138949999999971 × 6371000     		dr = 885.250449999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72403893--0.72384718) × cos(-0.76020452) × R
    0.000191749999999935 × 0.724695097368557 × 6371000     		do = 885.315975227701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72403893--0.72384718) × cos(-0.76034347) × R
    0.000191749999999935 × 0.724599344141759 × 6371000     		du = 885.198999327531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76020452)-sin(-0.76034347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724695097368557-0.724599344141759)×R²
    abs(-0.72384718--0.72403893)×9.575322679789e-05×R²
    0.000191749999999935×9.575322679789e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.575322679789e-05×40589641000000     		ar = 783674.590239121m²