Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12607 / 12285
↖ ↑ ↗
← S 66.486976°
E 97.009277°		 ← 974.76 m → S 66.486976°
E 97.031250°		 →
↑
974.57 m
↓
↑
974.57 m
↓
S 66.495740°
E 97.009277°		 ← 974.42 m →
949 811 m²		 S 66.495740°
E 97.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769500732421875 y=0.749847412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769500732421875 × 214)
    floor (0.769500732421875 × 16384)
    floor (12607.5)     		tx = 12607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749847412109375 × 214)
    floor (0.749847412109375 × 16384)
    floor (12285.5)     		ty = 12285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12607 / 12285 ti = "14/12607/12285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12607/12285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12607 ÷ 214
    12607 ÷ 16384     		x = 0.76947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12285 ÷ 214
    12285 ÷ 16384     		y = 0.74981689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76947021484375 × 2 - 1) × π
    0.5389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69313129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.4996337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56964584115912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69313129} λ = 1.69313129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56964584115912))-π/2
    2×atan(0.208118876446591)-π/2
    2×0.205189844340042-π/2
    0.410379688680085-1.57079632675     		φ = -1.16041664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69313129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.009277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16041664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.486976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12607 KachelY 12285 1.69313129 -1.16041664 97.009277 -66.486976
    Oben rechts KachelX + 1 12608 KachelY 12285 1.69351479 -1.16041664 97.031250 -66.486976
    Unten links KachelX 12607 KachelY + 1 12286 1.69313129 -1.16056961 97.009277 -66.495740
    Unten rechts KachelX + 1 12608 KachelY + 1 12286 1.69351479 -1.16056961 97.031250 -66.495740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16041664--1.16056961) × R
    0.00015297000000003 × 6371000     		dl = 974.571870000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16041664--1.16056961) × R
    0.00015297000000003 × 6371000     		dr = 974.571870000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69313129-1.69351479) × cos(-1.16041664) × R
    0.000383500000000092 × 0.398957517909633 × 6371000     		do = 974.764325922206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69313129-1.69351479) × cos(-1.16056961) × R
    0.000383500000000092 × 0.398817244431763 × 6371000     		du = 974.421598749606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16041664)-sin(-1.16056961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398957517909633-0.398817244431763)×R²
    abs(1.69351479-1.69313129)×0.000140273477870212×R²
    0.000383500000000092×0.000140273477870212×6371000²
    0.000383500000000092×0.000140273477870212×40589641000000     		ar = 949810.887644311m²