Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12602 / 12412
↖ ↑ ↗
← S 67.575717°
E 96.899414°		 ← 931.99 m → S 67.575717°
E 96.921387°		 →
↑
931.89 m
↓
↑
931.89 m
↓
S 67.584098°
E 96.899414°		 ← 931.66 m →
868 358 m²		 S 67.584098°
E 96.921387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769195556640625 y=0.757598876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769195556640625 × 214)
    floor (0.769195556640625 × 16384)
    floor (12602.5)     		tx = 12602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757598876953125 × 214)
    floor (0.757598876953125 × 16384)
    floor (12412.5)     		ty = 12412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12602 / 12412 ti = "14/12602/12412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12602/12412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12602 ÷ 214
    12602 ÷ 16384     		x = 0.7691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12412 ÷ 214
    12412 ÷ 16384     		y = 0.757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7691650390625 × 2 - 1) × π
    0.538330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69121382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.51513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6183497311731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69121382} λ = 1.69121382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6183497311731))-π/2
    2×atan(0.198225554763287)-π/2
    2×0.195688781743604-π/2
    0.391377563487207-1.57079632675     		φ = -1.17941876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69121382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17941876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.575717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12602 KachelY 12412 1.69121382 -1.17941876 96.899414 -67.575717
    Oben rechts KachelX + 1 12603 KachelY 12412 1.69159731 -1.17941876 96.921387 -67.575717
    Unten links KachelX 12602 KachelY + 1 12413 1.69121382 -1.17956503 96.899414 -67.584098
    Unten rechts KachelX + 1 12603 KachelY + 1 12413 1.69159731 -1.17956503 96.921387 -67.584098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17941876--1.17956503) × R
    0.000146270000000115 × 6371000     		dl = 931.886170000732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17941876--1.17956503) × R
    0.000146270000000115 × 6371000     		dr = 931.886170000732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69121382-1.69159731) × cos(-1.17941876) × R
    0.000383489999999931 × 0.381462177989466 × 6371000     		do = 931.994035089308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69121382-1.69159731) × cos(-1.17956503) × R
    0.000383489999999931 × 0.381326964196139 × 6371000     		du = 931.663678749638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17941876)-sin(-1.17956503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381462177989466-0.381326964196139)×R²
    abs(1.69159731-1.69121382)×0.000135213793327538×R²
    0.000383489999999931×0.000135213793327538×6371000²
    0.000383489999999931×0.000135213793327538×40589641000000     		ar = 868358.426119579m²