Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12601 / 12514
↖ ↑ ↗
← S 68.415352°
E 96.877441°		 ← 898.82 m → S 68.415352°
E 96.899414°		 →
↑
898.69 m
↓
↑
898.69 m
↓
S 68.423434°
E 96.877441°		 ← 898.50 m →
807 621 m²		 S 68.423434°
E 96.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769134521484375 y=0.763824462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769134521484375 × 214)
    floor (0.769134521484375 × 16384)
    floor (12601.5)     		tx = 12601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763824462890625 × 214)
    floor (0.763824462890625 × 16384)
    floor (12514.5)     		ty = 12514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12601 / 12514 ti = "14/12601/12514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12601/12514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12601 ÷ 214
    12601 ÷ 16384     		x = 0.76910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12514 ÷ 214
    12514 ÷ 16384     		y = 0.7637939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76910400390625 × 2 - 1) × π
    0.5382080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69083032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7637939453125 × 2 - 1) × π
    -0.527587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65746624126306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69083032} λ = 1.69083032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65746624126306))-π/2
    2×atan(0.190621357259185)-π/2
    2×0.188361585923452-π/2
    0.376723171846905-1.57079632675     		φ = -1.19407315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69083032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.877441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19407315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.415352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12601 KachelY 12514 1.69083032 -1.19407315 96.877441 -68.415352
    Oben rechts KachelX + 1 12602 KachelY 12514 1.69121382 -1.19407315 96.899414 -68.415352
    Unten links KachelX 12601 KachelY + 1 12515 1.69083032 -1.19421421 96.877441 -68.423434
    Unten rechts KachelX + 1 12602 KachelY + 1 12515 1.69121382 -1.19421421 96.899414 -68.423434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19407315--1.19421421) × R
    0.000141060000000026 × 6371000     		dl = 898.693260000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19407315--1.19421421) × R
    0.000141060000000026 × 6371000     		dr = 898.693260000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69083032-1.69121382) × cos(-1.19407315) × R
    0.00038349999999987 × 0.367875413640697 × 6371000     		do = 898.822088826618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69083032-1.69121382) × cos(-1.19421421) × R
    0.00038349999999987 × 0.367744241801183 × 6371000     		du = 898.501599491328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19407315)-sin(-1.19421421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367875413640697-0.367744241801183)×R²
    abs(1.69121382-1.69083032)×0.000131171839514055×R²
    0.00038349999999987×0.000131171839514055×6371000²
    0.00038349999999987×0.000131171839514055×40589641000000     		ar = 807621.343705346m²