Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12600 / 12513
↖ ↑ ↗
← S 68.407267°
E 96.855469°		 ← 899.12 m → S 68.407267°
E 96.877441°		 →
↑
898.95 m
↓
↑
898.95 m
↓
S 68.415352°
E 96.855469°		 ← 898.80 m →
808 117 m²		 S 68.415352°
E 96.877441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769073486328125 y=0.763763427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769073486328125 × 214)
    floor (0.769073486328125 × 16384)
    floor (12600.5)     		tx = 12600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763763427734375 × 214)
    floor (0.763763427734375 × 16384)
    floor (12513.5)     		ty = 12513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12600 / 12513 ti = "14/12600/12513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12600/12513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12600 ÷ 214
    12600 ÷ 16384     		x = 0.76904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12513 ÷ 214
    12513 ÷ 16384     		y = 0.76373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76904296875 × 2 - 1) × π
    0.5380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69044683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76373291015625 × 2 - 1) × π
    -0.5274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6570827460661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69044683} λ = 1.69044683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6570827460661))-π/2
    2×atan(0.190694473653129)-π/2
    2×0.188432137728173-π/2
    0.376864275456347-1.57079632675     		φ = -1.19393205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69044683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19393205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.407267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12600 KachelY 12513 1.69044683 -1.19393205 96.855469 -68.407267
    Oben rechts KachelX + 1 12601 KachelY 12513 1.69083032 -1.19393205 96.877441 -68.407267
    Unten links KachelX 12600 KachelY + 1 12514 1.69044683 -1.19407315 96.855469 -68.415352
    Unten rechts KachelX + 1 12601 KachelY + 1 12514 1.69083032 -1.19407315 96.877441 -68.415352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19393205--1.19407315) × R
    0.000141100000000005 × 6371000     		dl = 898.948100000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19393205--1.19407315) × R
    0.000141100000000005 × 6371000     		dr = 898.948100000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69044683-1.69083032) × cos(-1.19393205) × R
    0.000383490000000153 × 0.368006615353182 × 6371000     		do = 899.119205449093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69044683-1.69083032) × cos(-1.19407315) × R
    0.000383490000000153 × 0.367875413640697 × 6371000     		du = 898.798651484678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19393205)-sin(-1.19407315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368006615353182-0.367875413640697)×R²
    abs(1.69083032-1.69044683)×0.000131201712484319×R²
    0.000383490000000153×0.000131201712484319×6371000²
    0.000383490000000153×0.000131201712484319×40589641000000     		ar = 808117.422062845m²