Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 126 / 190
↖ ↑ ↗
← S 65.366837°
W  2.812500°		 ← 65.175 km → S 65.366837°
W  1.406250°		 →
↑
64.452 km
↓
↑
64.452 km
↓
S 65.946472°
W  2.812500°		 ← 63.734 km →
4 154.29 km²		 S 65.946472°
W  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494140625 y=0.744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494140625 × 28)
    floor (0.494140625 × 256)
    floor (126.5)     		tx = 126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744140625 × 28)
    floor (0.744140625 × 256)
    floor (190.5)     		ty = 190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 126 / 190 ti = "8/126/190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/126/190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126 ÷ 28
    126 ÷ 256     		x = 0.4921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 190 ÷ 28
    190 ÷ 256     		y = 0.7421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4921875 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7421875 × 2 - 1) × π
    -0.484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52170894153906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04908739} λ = -0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52170894153906))-π/2
    2×atan(0.218338440313639)-π/2
    2×0.214964900714467-π/2
    0.429929801428934-1.57079632675     		φ = -1.14086653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14086653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.366837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126 KachelY 190 -0.04908739 -1.14086653 -2.812500 -65.366837
    Oben rechts KachelX + 1 127 KachelY 190 -0.02454369 -1.14086653 -1.406250 -65.366837
    Unten links KachelX 126 KachelY + 1 191 -0.04908739 -1.15098306 -2.812500 -65.946472
    Unten rechts KachelX + 1 127 KachelY + 1 191 -0.02454369 -1.15098306 -1.406250 -65.946472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14086653--1.15098306) × R
    0.0101165299999999 × 6371000     		dl = 64452.4126299994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14086653--1.15098306) × R
    0.0101165299999999 × 6371000     		dr = 64452.4126299994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04908739--0.02454369) × cos(-1.14086653) × R
    0.0245437 × 0.416806989093035 × 6371000     		do = 65175.2388832495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04908739--0.02454369) × cos(-1.15098306) × R
    0.0245437 × 0.407589941927033 × 6371000     		du = 63733.9884566444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14086653)-sin(-1.15098306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416806989093035-0.407589941927033)×R²
    abs(-0.02454369--0.04908739)×0.00921704716600152×R²
    0.0245437×0.00921704716600152×6371000²
    0.0245437×0.00921704716600152×40589641000000     		ar = 4154290786.84647m²