Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12596 / 12511
↖ ↑ ↗
← S 68.391089°
E 96.767578°		 ← 899.76 m → S 68.391089°
E 96.789551°		 →
↑
899.65 m
↓
↑
899.65 m
↓
S 68.399180°
E 96.767578°		 ← 899.44 m →
809 324 m²		 S 68.399180°
E 96.789551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768829345703125 y=0.763641357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768829345703125 × 214)
    floor (0.768829345703125 × 16384)
    floor (12596.5)     		tx = 12596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763641357421875 × 214)
    floor (0.763641357421875 × 16384)
    floor (12511.5)     		ty = 12511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12596 / 12511 ti = "14/12596/12511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12596/12511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12596 ÷ 214
    12596 ÷ 16384     		x = 0.768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12511 ÷ 214
    12511 ÷ 16384     		y = 0.76361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768798828125 × 2 - 1) × π
    0.53759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68891285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76361083984375 × 2 - 1) × π
    -0.5272216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65631575567218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68891285} λ = 1.68891285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65631575567218))-π/2
    2×atan(0.190840790587263)-π/2
    2×0.188573316831304-π/2
    0.377146633662608-1.57079632675     		φ = -1.19364969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68891285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.767578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19364969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.391089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12596 KachelY 12511 1.68891285 -1.19364969 96.767578 -68.391089
    Oben rechts KachelX + 1 12597 KachelY 12511 1.68929634 -1.19364969 96.789551 -68.391089
    Unten links KachelX 12596 KachelY + 1 12512 1.68891285 -1.19379090 96.767578 -68.399180
    Unten rechts KachelX + 1 12597 KachelY + 1 12512 1.68929634 -1.19379090 96.789551 -68.399180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19364969--1.19379090) × R
    0.000141210000000003 × 6371000     		dl = 899.648910000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19364969--1.19379090) × R
    0.000141210000000003 × 6371000     		dr = 899.648910000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68891285-1.68929634) × cos(-1.19364969) × R
    0.000383490000000153 × 0.368269145550456 × 6371000     		do = 899.760623109895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68891285-1.68929634) × cos(-1.19379090) × R
    0.000383490000000153 × 0.368137856227506 × 6371000     		du = 899.439855094295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19364969)-sin(-1.19379090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368269145550456-0.368137856227506)×R²
    abs(1.68929634-1.68891285)×0.000131289322949646×R²
    0.000383490000000153×0.000131289322949646×6371000²
    0.000383490000000153×0.000131289322949646×40589641000000     		ar = 809324.375889153m²