Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12594 / 12489
↖ ↑ ↗
← S 68.212369°
E 96.723633°		 ← 906.84 m → S 68.212369°
E 96.745605°		 →
↑
906.72 m
↓
↑
906.72 m
↓
S 68.220523°
E 96.723633°		 ← 906.52 m →
822 106 m²		 S 68.220523°
E 96.745605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768707275390625 y=0.762298583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768707275390625 × 214)
    floor (0.768707275390625 × 16384)
    floor (12594.5)     		tx = 12594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762298583984375 × 214)
    floor (0.762298583984375 × 16384)
    floor (12489.5)     		ty = 12489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12594 / 12489 ti = "14/12594/12489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12594/12489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12594 ÷ 214
    12594 ÷ 16384     		x = 0.7686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12489 ÷ 214
    12489 ÷ 16384     		y = 0.76226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7686767578125 × 2 - 1) × π
    0.537353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68814586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76226806640625 × 2 - 1) × π
    -0.5245361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64787886133905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68814586} λ = 1.68814586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64787886133905))-π/2
    2×atan(0.192457705450675)-π/2
    2×0.190132947066859-π/2
    0.380265894133717-1.57079632675     		φ = -1.19053043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68814586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19053043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.212369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12594 KachelY 12489 1.68814586 -1.19053043 96.723633 -68.212369
    Oben rechts KachelX + 1 12595 KachelY 12489 1.68852935 -1.19053043 96.745605 -68.212369
    Unten links KachelX 12594 KachelY + 1 12490 1.68814586 -1.19067275 96.723633 -68.220523
    Unten rechts KachelX + 1 12595 KachelY + 1 12490 1.68852935 -1.19067275 96.745605 -68.220523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19053043--1.19067275) × R
    0.00014232000000014 × 6371000     		dl = 906.720720000893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19053043--1.19067275) × R
    0.00014232000000014 × 6371000     		dr = 906.720720000893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68814586-1.68852935) × cos(-1.19053043) × R
    0.000383489999999931 × 0.371167385247963 × 6371000     		do = 906.841645203288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68814586-1.68852935) × cos(-1.19067275) × R
    0.000383489999999931 × 0.371035227979684 × 6371000     		du = 906.518756610822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19053043)-sin(-1.19067275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371167385247963-0.371035227979684)×R²
    abs(1.68852935-1.68814586)×0.000132157268279032×R²
    0.000383489999999931×0.000132157268279032×6371000²
    0.000383489999999931×0.000132157268279032×40589641000000     		ar = 822105.725964148m²