Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12594 / 12421
↖ ↑ ↗
← S 67.651033°
E 96.723633°		 ← 929.02 m → S 67.651033°
E 96.745605°		 →
↑
928.83 m
↓
↑
928.83 m
↓
S 67.659386°
E 96.723633°		 ← 928.69 m →
862 751 m²		 S 67.659386°
E 96.745605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768707275390625 y=0.758148193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768707275390625 × 214)
    floor (0.768707275390625 × 16384)
    floor (12594.5)     		tx = 12594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758148193359375 × 214)
    floor (0.758148193359375 × 16384)
    floor (12421.5)     		ty = 12421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12594 / 12421 ti = "14/12594/12421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12594/12421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12594 ÷ 214
    12594 ÷ 16384     		x = 0.7686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12421 ÷ 214
    12421 ÷ 16384     		y = 0.75811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7686767578125 × 2 - 1) × π
    0.537353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68814586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75811767578125 × 2 - 1) × π
    -0.5162353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62180118794574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68814586} λ = 1.68814586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62180118794574))-π/2
    2×atan(0.197542567158895)-π/2
    2×0.195031530857859-π/2
    0.390063061715718-1.57079632675     		φ = -1.18073327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68814586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18073327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.651033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12594 KachelY 12421 1.68814586 -1.18073327 96.723633 -67.651033
    Oben rechts KachelX + 1 12595 KachelY 12421 1.68852935 -1.18073327 96.745605 -67.651033
    Unten links KachelX 12594 KachelY + 1 12422 1.68814586 -1.18087906 96.723633 -67.659386
    Unten rechts KachelX + 1 12595 KachelY + 1 12422 1.68852935 -1.18087906 96.745605 -67.659386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18073327--1.18087906) × R
    0.000145790000000146 × 6371000     		dl = 928.828090000927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18073327--1.18087906) × R
    0.000145790000000146 × 6371000     		dr = 928.828090000927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68814586-1.68852935) × cos(-1.18073327) × R
    0.000383489999999931 × 0.380246736168163 × 6371000     		do = 929.024449655117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68814586-1.68852935) × cos(-1.18087906) × R
    0.000383489999999931 × 0.380111893131144 × 6371000     		du = 928.694999152743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18073327)-sin(-1.18087906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380246736168163-0.380111893131144)×R²
    abs(1.68852935-1.68814586)×0.00013484303701955×R²
    0.000383489999999931×0.00013484303701955×6371000²
    0.000383489999999931×0.00013484303701955×40589641000000     		ar = 862751.00522645m²