Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12593 / 12495
↖ ↑ ↗
← S 68.261250°
E 96.701660°		 ← 904.93 m → S 68.261250°
E 96.723633°		 →
↑
904.75 m
↓
↑
904.75 m
↓
S 68.269387°
E 96.701660°		 ← 904.61 m →
818 585 m²		 S 68.269387°
E 96.723633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768646240234375 y=0.762664794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768646240234375 × 214)
    floor (0.768646240234375 × 16384)
    floor (12593.5)     		tx = 12593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762664794921875 × 214)
    floor (0.762664794921875 × 16384)
    floor (12495.5)     		ty = 12495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12593 / 12495 ti = "14/12593/12495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12593/12495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12593 ÷ 214
    12593 ÷ 16384     		x = 0.76861572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12495 ÷ 214
    12495 ÷ 16384     		y = 0.76263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76861572265625 × 2 - 1) × π
    0.5372314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68776236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.5252685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65017983252081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68776236} λ = 1.68776236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65017983252081))-π/2
    2×atan(0.1920153749068)-π/2
    2×0.189706380257353-π/2
    0.379412760514706-1.57079632675     		φ = -1.19138357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68776236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.701660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19138357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.261250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12593 KachelY 12495 1.68776236 -1.19138357 96.701660 -68.261250
    Oben rechts KachelX + 1 12594 KachelY 12495 1.68814586 -1.19138357 96.723633 -68.261250
    Unten links KachelX 12593 KachelY + 1 12496 1.68776236 -1.19152558 96.701660 -68.269387
    Unten rechts KachelX + 1 12594 KachelY + 1 12496 1.68814586 -1.19152558 96.723633 -68.269387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19138357--1.19152558) × R
    0.000142010000000026 × 6371000     		dl = 904.745710000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19138357--1.19152558) × R
    0.000142010000000026 × 6371000     		dr = 904.745710000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68776236-1.68814586) × cos(-1.19138357) × R
    0.000383500000000092 × 0.370375053490455 × 6371000     		do = 904.929405129797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68776236-1.68814586) × cos(-1.19152558) × R
    0.000383500000000092 × 0.370243139181402 × 6371000     		du = 904.607101734644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19138357)-sin(-1.19152558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370375053490455-0.370243139181402)×R²
    abs(1.68814586-1.68776236)×0.00013191430905346×R²
    0.000383500000000092×0.00013191430905346×6371000²
    0.000383500000000092×0.00013191430905346×40589641000000     		ar = 818585.197212706m²