Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12592 / 12399
↖ ↑ ↗
← S 67.466503°
E 96.679688°		 ← 936.30 m → S 67.466503°
E 96.701660°		 →
↑
936.15 m
↓
↑
936.15 m
↓
S 67.474922°
E 96.679688°		 ← 935.97 m →
876 364 m²		 S 67.474922°
E 96.701660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768585205078125 y=0.756805419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768585205078125 × 214)
    floor (0.768585205078125 × 16384)
    floor (12592.5)     		tx = 12592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756805419921875 × 214)
    floor (0.756805419921875 × 16384)
    floor (12399.5)     		ty = 12399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12592 / 12399 ti = "14/12592/12399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12592/12399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12592 ÷ 214
    12592 ÷ 16384     		x = 0.7685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12399 ÷ 214
    12399 ÷ 16384     		y = 0.75677490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7685546875 × 2 - 1) × π
    0.537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68737887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75677490234375 × 2 - 1) × π
    -0.5135498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61336429361261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68737887} λ = 1.68737887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61336429361261))-π/2
    2×atan(0.199216263395495)-π/2
    2×0.196641853506084-π/2
    0.393283707012169-1.57079632675     		φ = -1.17751262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68737887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17751262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.466503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12592 KachelY 12399 1.68737887 -1.17751262 96.679688 -67.466503
    Oben rechts KachelX + 1 12593 KachelY 12399 1.68776236 -1.17751262 96.701660 -67.466503
    Unten links KachelX 12592 KachelY + 1 12400 1.68737887 -1.17765956 96.679688 -67.474922
    Unten rechts KachelX + 1 12593 KachelY + 1 12400 1.68776236 -1.17765956 96.701660 -67.474922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17751262--1.17765956) × R
    0.00014694000000004 × 6371000     		dl = 936.154740000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17751262--1.17765956) × R
    0.00014694000000004 × 6371000     		dr = 936.154740000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68737887-1.68776236) × cos(-1.17751262) × R
    0.000383489999999931 × 0.383223490096854 × 6371000     		do = 936.297298879883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68737887-1.68776236) × cos(-1.17765956) × R
    0.000383489999999931 × 0.383087763999222 × 6371000     		du = 935.96569087076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17751262)-sin(-1.17765956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383223490096854-0.383087763999222)×R²
    abs(1.68776236-1.68737887)×0.000135726097631794×R²
    0.000383489999999931×0.000135726097631794×6371000²
    0.000383489999999931×0.000135726097631794×40589641000000     		ar = 876363.937767504m²