Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1259 / 2269
↖ ↑ ↗
← N 62.329209°
W124.672852°		 ← 2 269.24 m → N 62.329209°
W124.628906°		 →
↑
2 270.05 m
↓
↑
2 270.05 m
↓
N 62.308794°
W124.672852°		 ← 2 270.78 m →
5 153 044 m²		 N 62.308794°
W124.628906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15374755859375 y=0.27703857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15374755859375 × 213)
    floor (0.15374755859375 × 8192)
    floor (1259.5)     		tx = 1259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27703857421875 × 213)
    floor (0.27703857421875 × 8192)
    floor (2269.5)     		ty = 2269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1259 / 2269 ti = "13/1259/2269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1259/2269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1259 ÷ 213
    1259 ÷ 8192     		x = 0.1536865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2269 ÷ 213
    2269 ÷ 8192     		y = 0.2769775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1536865234375 × 2 - 1) × π
    -0.692626953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.17595175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2769775390625 × 2 - 1) × π
    0.446044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40129144969348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17595175} λ = -2.17595175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40129144969348))-π/2
    2×atan(4.06044043677215)-π/2
    2×1.32932311688624-π/2
    2.65864623377247-1.57079632675     		φ = 1.08784991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17595175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.672852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08784991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.329209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1259 KachelY 2269 -2.17595175 1.08784991 -124.672852 62.329209
    Oben rechts KachelX + 1 1260 KachelY 2269 -2.17518476 1.08784991 -124.628906 62.329209
    Unten links KachelX 1259 KachelY + 1 2270 -2.17595175 1.08749360 -124.672852 62.308794
    Unten rechts KachelX + 1 1260 KachelY + 1 2270 -2.17518476 1.08749360 -124.628906 62.308794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08784991-1.08749360) × R
    0.000356310000000137 × 6371000     		dl = 2270.05101000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08784991-1.08749360) × R
    0.000356310000000137 × 6371000     		dr = 2270.05101000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17595175--2.17518476) × cos(1.08784991) × R
    0.000766989999999801 × 0.464390624060615 × 6371000     		do = 2269.24166841052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17595175--2.17518476) × cos(1.08749360) × R
    0.000766989999999801 × 0.464706153571727 × 6371000     		du = 2270.78350124936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08784991)-sin(1.08749360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464390624060615-0.464706153571727)×R²
    abs(-2.17518476--2.17595175)×0.000315529511111967×R²
    0.000766989999999801×0.000315529511111967×6371000²
    0.000766989999999801×0.000315529511111967×40589641000000     		ar = 5153044.41542833m²