Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12588 / 12767
↖ ↑ ↗
← S 70.370474°
E 96.591797°		 ← 820.77 m → S 70.370474°
E 96.613769°		 →
↑
820.65 m
↓
↑
820.65 m
↓
S 70.377854°
E 96.591797°		 ← 820.47 m →
673 439 m²		 S 70.377854°
E 96.613769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768341064453125 y=0.779266357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768341064453125 × 214)
    floor (0.768341064453125 × 16384)
    floor (12588.5)     		tx = 12588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779266357421875 × 214)
    floor (0.779266357421875 × 16384)
    floor (12767.5)     		ty = 12767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12588 / 12767 ti = "14/12588/12767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12588/12767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12588 ÷ 214
    12588 ÷ 16384     		x = 0.768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12767 ÷ 214
    12767 ÷ 16384     		y = 0.77923583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768310546875 × 2 - 1) × π
    0.53662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68584489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77923583984375 × 2 - 1) × π
    -0.5584716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75449052609406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68584489} λ = 1.68584489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75449052609406))-π/2
    2×atan(0.172995356463843)-π/2
    2×0.171299931005505-π/2
    0.34259986201101-1.57079632675     		φ = -1.22819646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68584489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22819646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.370474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12588 KachelY 12767 1.68584489 -1.22819646 96.591797 -70.370474
    Oben rechts KachelX + 1 12589 KachelY 12767 1.68622838 -1.22819646 96.613769 -70.370474
    Unten links KachelX 12588 KachelY + 1 12768 1.68584489 -1.22832527 96.591797 -70.377854
    Unten rechts KachelX + 1 12589 KachelY + 1 12768 1.68622838 -1.22832527 96.613769 -70.377854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22819646--1.22832527) × R
    0.00012881000000009 × 6371000     		dl = 820.648510000575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22819646--1.22832527) × R
    0.00012881000000009 × 6371000     		dr = 820.648510000575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68584489-1.68622838) × cos(-1.22819646) × R
    0.000383489999999931 × 0.335936998859996 × 6371000     		do = 820.766244122808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68584489-1.68622838) × cos(-1.22832527) × R
    0.000383489999999931 × 0.335815671936321 × 6371000     		du = 820.46981638846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22819646)-sin(-1.22832527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335936998859996-0.335815671936321)×R²
    abs(1.68622838-1.68584489)×0.000121326923674892×R²
    0.000383489999999931×0.000121326923674892×6371000²
    0.000383489999999931×0.000121326923674892×40589641000000     		ar = 673438.964739605m²