Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12588 / 12756
↖ ↑ ↗
← S 70.289116°
E 96.591797°		 ← 824.03 m → S 70.289116°
E 96.613769°		 →
↑
823.90 m
↓
↑
823.90 m
↓
S 70.296526°
E 96.591797°		 ← 823.74 m →
678 796 m²		 S 70.296526°
E 96.613769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768341064453125 y=0.778594970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768341064453125 × 214)
    floor (0.768341064453125 × 16384)
    floor (12588.5)     		tx = 12588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778594970703125 × 214)
    floor (0.778594970703125 × 16384)
    floor (12756.5)     		ty = 12756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12588 / 12756 ti = "14/12588/12756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12588/12756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12588 ÷ 214
    12588 ÷ 16384     		x = 0.768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12756 ÷ 214
    12756 ÷ 16384     		y = 0.778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768310546875 × 2 - 1) × π
    0.53662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68584489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.55712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75027207892749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68584489} λ = 1.68584489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75027207892749))-π/2
    2×atan(0.173726669653679)-π/2
    2×0.172009906533861-π/2
    0.344019813067722-1.57079632675     		φ = -1.22677651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68584489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22677651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.289116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12588 KachelY 12756 1.68584489 -1.22677651 96.591797 -70.289116
    Oben rechts KachelX + 1 12589 KachelY 12756 1.68622838 -1.22677651 96.613769 -70.289116
    Unten links KachelX 12588 KachelY + 1 12757 1.68584489 -1.22690583 96.591797 -70.296526
    Unten rechts KachelX + 1 12589 KachelY + 1 12757 1.68622838 -1.22690583 96.613769 -70.296526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22677651--1.22690583) × R
    0.000129319999999877 × 6371000     		dl = 823.897719999218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22677651--1.22690583) × R
    0.000129319999999877 × 6371000     		dr = 823.897719999218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68584489-1.68622838) × cos(-1.22677651) × R
    0.000383489999999931 × 0.337274088579359 × 6371000     		do = 824.033041500711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68584489-1.68622838) × cos(-1.22690583) × R
    0.000383489999999931 × 0.337152343071512 × 6371000     		du = 823.735591075324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22677651)-sin(-1.22690583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337274088579359-0.337152343071512)×R²
    abs(1.68622838-1.68584489)×0.000121745507846605×R²
    0.000383489999999931×0.000121745507846605×6371000²
    0.000383489999999931×0.000121745507846605×40589641000000     		ar = 678796.410677967m²