Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12587 / 12761
↖ ↑ ↗
← S 70.326138°
E 96.569824°		 ← 822.57 m → S 70.326138°
E 96.591797°		 →
↑
822.37 m
↓
↑
822.37 m
↓
S 70.333533°
E 96.569824°		 ← 822.27 m →
676 332 m²		 S 70.333533°
E 96.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768280029296875 y=0.778900146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768280029296875 × 214)
    floor (0.768280029296875 × 16384)
    floor (12587.5)     		tx = 12587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778900146484375 × 214)
    floor (0.778900146484375 × 16384)
    floor (12761.5)     		ty = 12761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12587 / 12761 ti = "14/12587/12761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12587/12761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12587 ÷ 214
    12587 ÷ 16384     		x = 0.76824951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12761 ÷ 214
    12761 ÷ 16384     		y = 0.77886962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76824951171875 × 2 - 1) × π
    0.5364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68546139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.5577392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75218955491229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68546139} λ = 1.68546139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75218955491229))-π/2
    2×atan(0.173393872104319)-π/2
    2×0.171686840751841-π/2
    0.343373681503682-1.57079632675     		φ = -1.22742265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68546139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.569824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22742265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.326138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12587 KachelY 12761 1.68546139 -1.22742265 96.569824 -70.326138
    Oben rechts KachelX + 1 12588 KachelY 12761 1.68584489 -1.22742265 96.591797 -70.326138
    Unten links KachelX 12587 KachelY + 1 12762 1.68546139 -1.22755173 96.569824 -70.333533
    Unten rechts KachelX + 1 12588 KachelY + 1 12762 1.68584489 -1.22755173 96.591797 -70.333533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22742265--1.22755173) × R
    0.000129080000000004 × 6371000     		dl = 822.368680000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22742265--1.22755173) × R
    0.000129080000000004 × 6371000     		dr = 822.368680000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68546139-1.68584489) × cos(-1.22742265) × R
    0.000383500000000092 × 0.336665737823446 × 6371000     		do = 822.568158910861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68546139-1.68584489) × cos(-1.22755173) × R
    0.000383500000000092 × 0.336544190164127 × 6371000     		du = 822.271184128121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22742265)-sin(-1.22755173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336665737823446-0.336544190164127)×R²
    abs(1.68584489-1.68546139)×0.00012154765931921×R²
    0.000383500000000092×0.00012154765931921×6371000²
    0.000383500000000092×0.00012154765931921×40589641000000     		ar = 676332.180611675m²