Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12587 / 12315
↖ ↑ ↗
← S 66.748577°
E 96.569824°		 ← 964.52 m → S 66.748577°
E 96.591797°		 →
↑
964.38 m
↓
↑
964.38 m
↓
S 66.757250°
E 96.569824°		 ← 964.19 m →
930 003 m²		 S 66.757250°
E 96.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768280029296875 y=0.751678466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768280029296875 × 214)
    floor (0.768280029296875 × 16384)
    floor (12587.5)     		tx = 12587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751678466796875 × 214)
    floor (0.751678466796875 × 16384)
    floor (12315.5)     		ty = 12315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12587 / 12315 ti = "14/12587/12315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12587/12315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12587 ÷ 214
    12587 ÷ 16384     		x = 0.76824951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12315 ÷ 214
    12315 ÷ 16384     		y = 0.75164794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76824951171875 × 2 - 1) × π
    0.5364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68546139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75164794921875 × 2 - 1) × π
    -0.5032958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58115069706793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68546139} λ = 1.68546139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58115069706793))-π/2
    2×atan(0.205738219577221)-π/2
    2×0.202906940978723-π/2
    0.405813881957446-1.57079632675     		φ = -1.16498244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68546139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.569824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16498244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.748577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12587 KachelY 12315 1.68546139 -1.16498244 96.569824 -66.748577
    Oben rechts KachelX + 1 12588 KachelY 12315 1.68584489 -1.16498244 96.591797 -66.748577
    Unten links KachelX 12587 KachelY + 1 12316 1.68546139 -1.16513381 96.569824 -66.757250
    Unten rechts KachelX + 1 12588 KachelY + 1 12316 1.68584489 -1.16513381 96.591797 -66.757250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16498244--1.16513381) × R
    0.000151369999999984 × 6371000     		dl = 964.378269999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16498244--1.16513381) × R
    0.000151369999999984 × 6371000     		dr = 964.378269999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68546139-1.68584489) × cos(-1.16498244) × R
    0.000383500000000092 × 0.394766675091092 × 6371000     		do = 964.524929766782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68546139-1.68584489) × cos(-1.16513381) × R
    0.000383500000000092 × 0.394627594627558 × 6371000     		du = 964.185117460459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16498244)-sin(-1.16513381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394766675091092-0.394627594627558)×R²
    abs(1.68584489-1.68546139)×0.000139080463533836×R²
    0.000383500000000092×0.000139080463533836×6371000²
    0.000383500000000092×0.000139080463533836×40589641000000     		ar = 930003.031114261m²