Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12584 / 12229
↖ ↑ ↗
← S 65.991212°
E 96.503907°		 ← 994.09 m → S 65.991212°
E 96.525879°		 →
↑
993.94 m
↓
↑
993.94 m
↓
S 66.000150°
E 96.503907°		 ← 993.74 m →
987 890 m²		 S 66.000150°
E 96.525879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768096923828125 y=0.746429443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768096923828125 × 214)
    floor (0.768096923828125 × 16384)
    floor (12584.5)     		tx = 12584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746429443359375 × 214)
    floor (0.746429443359375 × 16384)
    floor (12229.5)     		ty = 12229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12584 / 12229 ti = "14/12584/12229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12584/12229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12584 ÷ 214
    12584 ÷ 16384     		x = 0.76806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12229 ÷ 214
    12229 ÷ 16384     		y = 0.74639892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76806640625 × 2 - 1) × π
    0.5361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68431091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.4927978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54817011012933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68431091} λ = 1.68431091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54817011012933))-π/2
    2×atan(0.212636719816817)-π/2
    2×0.209516202117813-π/2
    0.419032404235625-1.57079632675     		φ = -1.15176392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68431091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.503907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15176392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.991212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12584 KachelY 12229 1.68431091 -1.15176392 96.503907 -65.991212
    Oben rechts KachelX + 1 12585 KachelY 12229 1.68469440 -1.15176392 96.525879 -65.991212
    Unten links KachelX 12584 KachelY + 1 12230 1.68431091 -1.15191993 96.503907 -66.000150
    Unten rechts KachelX + 1 12585 KachelY + 1 12230 1.68469440 -1.15191993 96.525879 -66.000150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15176392--1.15191993) × R
    0.000156009999999984 × 6371000     		dl = 993.939709999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15176392--1.15191993) × R
    0.000156009999999984 × 6371000     		dr = 993.939709999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68431091-1.68469440) × cos(-1.15176392) × R
    0.000383489999999931 × 0.406876763663012 × 6371000     		do = 994.087326688627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68431091-1.68469440) × cos(-1.15191993) × R
    0.000383489999999931 × 0.406734246220035 × 6371000     		du = 993.739125964112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15176392)-sin(-1.15191993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406876763663012-0.406734246220035)×R²
    abs(1.68469440-1.68431091)×0.000142517442977164×R²
    0.000383489999999931×0.000142517442977164×6371000²
    0.000383489999999931×0.000142517442977164×40589641000000     		ar = 987889.825944492m²