Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12583 / 12355
↖ ↑ ↗
← S 67.093105°
E 96.481934°		 ← 951.01 m → S 67.093105°
E 96.503907°		 →
↑
950.81 m
↓
↑
950.81 m
↓
S 67.101655°
E 96.481934°		 ← 950.67 m →
904 067 m²		 S 67.101655°
E 96.503907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768035888671875 y=0.754119873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768035888671875 × 214)
    floor (0.768035888671875 × 16384)
    floor (12583.5)     		tx = 12583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754119873046875 × 214)
    floor (0.754119873046875 × 16384)
    floor (12355.5)     		ty = 12355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12583 / 12355 ti = "14/12583/12355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12583/12355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12583 ÷ 214
    12583 ÷ 16384     		x = 0.76800537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12355 ÷ 214
    12355 ÷ 16384     		y = 0.75408935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76800537109375 × 2 - 1) × π
    0.5360107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68392741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75408935546875 × 2 - 1) × π
    -0.5081787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59649050494635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68392741} λ = 1.68392741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59649050494635))-π/2
    2×atan(0.202606317616514)-π/2
    2×0.199900373789893-π/2
    0.399800747579786-1.57079632675     		φ = -1.17099558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68392741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.481934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17099558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.093105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12583 KachelY 12355 1.68392741 -1.17099558 96.481934 -67.093105
    Oben rechts KachelX + 1 12584 KachelY 12355 1.68431091 -1.17099558 96.503907 -67.093105
    Unten links KachelX 12583 KachelY + 1 12356 1.68392741 -1.17114482 96.481934 -67.101655
    Unten rechts KachelX + 1 12584 KachelY + 1 12356 1.68431091 -1.17114482 96.503907 -67.101655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17099558--1.17114482) × R
    0.00014924000000005 × 6371000     		dl = 950.808040000321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17099558--1.17114482) × R
    0.00014924000000005 × 6371000     		dr = 950.808040000321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68392741-1.68431091) × cos(-1.17099558) × R
    0.000383500000000092 × 0.389234810224402 × 6371000     		do = 951.009043273089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68392741-1.68431091) × cos(-1.17114482) × R
    0.000383500000000092 × 0.389097335170307 × 6371000     		du = 950.673153429134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17099558)-sin(-1.17114482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389234810224402-0.389097335170307)×R²
    abs(1.68431091-1.68392741)×0.00013747505409456×R²
    0.000383500000000092×0.00013747505409456×6371000²
    0.000383500000000092×0.00013747505409456×40589641000000     		ar = 904067.362752848m²