Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12583 / 12314
↖ ↑ ↗
← S 66.739902°
E 96.481934°		 ← 964.86 m → S 66.739902°
E 96.503907°		 →
↑
964.63 m
↓
↑
964.63 m
↓
S 66.748577°
E 96.481934°		 ← 964.52 m →
930 577 m²		 S 66.748577°
E 96.503907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768035888671875 y=0.751617431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768035888671875 × 214)
    floor (0.768035888671875 × 16384)
    floor (12583.5)     		tx = 12583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751617431640625 × 214)
    floor (0.751617431640625 × 16384)
    floor (12314.5)     		ty = 12314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12583 / 12314 ti = "14/12583/12314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12583/12314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12583 ÷ 214
    12583 ÷ 16384     		x = 0.76800537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12314 ÷ 214
    12314 ÷ 16384     		y = 0.7515869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76800537109375 × 2 - 1) × π
    0.5360107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68392741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.503173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58076720187097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68392741} λ = 1.68392741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58076720187097))-π/2
    2×atan(0.205817134327007)-π/2
    2×0.202982649876656-π/2
    0.405965299753312-1.57079632675     		φ = -1.16483103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68392741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.481934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16483103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.739902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12583 KachelY 12314 1.68392741 -1.16483103 96.481934 -66.739902
    Oben rechts KachelX + 1 12584 KachelY 12314 1.68431091 -1.16483103 96.503907 -66.739902
    Unten links KachelX 12583 KachelY + 1 12315 1.68392741 -1.16498244 96.481934 -66.748577
    Unten rechts KachelX + 1 12584 KachelY + 1 12315 1.68431091 -1.16498244 96.503907 -66.748577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16483103--1.16498244) × R
    0.000151409999999963 × 6371000     		dl = 964.633109999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16483103--1.16498244) × R
    0.000151409999999963 × 6371000     		dr = 964.633109999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68392741-1.68431091) × cos(-1.16483103) × R
    0.000383500000000092 × 0.394905783258251 × 6371000     		do = 964.864809760775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68392741-1.68431091) × cos(-1.16498244) × R
    0.000383500000000092 × 0.394766675091092 × 6371000     		du = 964.524929766782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16483103)-sin(-1.16498244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394905783258251-0.394766675091092)×R²
    abs(1.68431091-1.68392741)×0.000139108167158897×R²
    0.000383500000000092×0.000139108167158897×6371000²
    0.000383500000000092×0.000139108167158897×40589641000000     		ar = 930576.614200013m²