Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12581 / 14645
↖ ↑ ↗
← N 18.760713°
W 41.781006°		 ← 1 156.73 m → N 18.760713°
W 41.770020°		 →
↑
1 156.78 m
↓
↑
1 156.78 m
↓
N 18.750310°
W 41.781006°		 ← 1 156.80 m →
1 338 130 m²		 N 18.750310°
W 41.770020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383956909179688 y=0.446945190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383956909179688 × 215)
    floor (0.383956909179688 × 32768)
    floor (12581.5)     		tx = 12581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446945190429688 × 215)
    floor (0.446945190429688 × 32768)
    floor (14645.5)     		ty = 14645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12581 / 14645 ti = "15/12581/14645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12581/14645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12581 ÷ 215
    12581 ÷ 32768     		x = 0.383941650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14645 ÷ 215
    14645 ÷ 32768     		y = 0.446929931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383941650390625 × 2 - 1) × π
    -0.23211669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72921612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446929931640625 × 2 - 1) × π
    0.10614013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.333449073757111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72921612} λ = -0.72921612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.333449073757111))-π/2
    2×atan(1.39577396320766)-π/2
    2×0.949116267221299-π/2
    1.8982325344426-1.57079632675     		φ = 0.32743621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72921612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.781006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32743621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.760713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12581 KachelY 14645 -0.72921612 0.32743621 -41.781006 18.760713
    Oben rechts KachelX + 1 12582 KachelY 14645 -0.72902437 0.32743621 -41.770020 18.760713
    Unten links KachelX 12581 KachelY + 1 14646 -0.72921612 0.32725464 -41.781006 18.750310
    Unten rechts KachelX + 1 12582 KachelY + 1 14646 -0.72902437 0.32725464 -41.770020 18.750310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32743621-0.32725464) × R
    0.00018157000000002 × 6371000     		dl = 1156.78247000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32743621-0.32725464) × R
    0.00018157000000002 × 6371000     		dr = 1156.78247000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72921612--0.72902437) × cos(0.32743621) × R
    0.000191750000000046 × 0.946870011718511 × 6371000     		do = 1156.73357096357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72921612--0.72902437) × cos(0.32725464) × R
    0.000191750000000046 × 0.946928392020261 × 6371000     		du = 1156.80489063162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32743621)-sin(0.32725464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946870011718511-0.946928392020261)×R²
    abs(-0.72902437--0.72921612)×5.83803017495388e-05×R²
    0.000191750000000046×5.83803017495388e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.83803017495388e-05×40589641000000     		ar = 1338130.37169853m²