Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1258 / 2282
↖ ↑ ↗
← N 62.062733°
W124.716797°		 ← 2 289.34 m → N 62.062733°
W124.672852°		 →
↑
2 290.12 m
↓
↑
2 290.12 m
↓
N 62.042138°
W124.716797°		 ← 2 290.90 m →
5 244 649 m²		 N 62.042138°
W124.672852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15362548828125 y=0.27862548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15362548828125 × 213)
    floor (0.15362548828125 × 8192)
    floor (1258.5)     		tx = 1258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27862548828125 × 213)
    floor (0.27862548828125 × 8192)
    floor (2282.5)     		ty = 2282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1258 / 2282 ti = "13/1258/2282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1258/2282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1258 ÷ 213
    1258 ÷ 8192     		x = 0.153564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2282 ÷ 213
    2282 ÷ 8192     		y = 0.278564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153564453125 × 2 - 1) × π
    -0.69287109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.17671874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.278564453125 × 2 - 1) × π
    0.44287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.39132057457251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17671874} λ = -2.17671874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39132057457251))-π/2
    2×atan(4.02015546421118)-π/2
    2×1.32699768246506-π/2
    2.65399536493013-1.57079632675     		φ = 1.08319904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17671874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.716797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08319904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.062733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1258 KachelY 2282 -2.17671874 1.08319904 -124.716797 62.062733
    Oben rechts KachelX + 1 1259 KachelY 2282 -2.17595175 1.08319904 -124.672852 62.062733
    Unten links KachelX 1258 KachelY + 1 2283 -2.17671874 1.08283958 -124.716797 62.042138
    Unten rechts KachelX + 1 1259 KachelY + 1 2283 -2.17595175 1.08283958 -124.672852 62.042138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08319904-1.08283958) × R
    0.000359460000000089 × 6371000     		dl = 2290.11966000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08319904-1.08283958) × R
    0.000359460000000089 × 6371000     		dr = 2290.11966000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17671874--2.17595175) × cos(1.08319904) × R
    0.000766990000000245 × 0.468504538932068 × 6371000     		do = 2289.34428582683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17671874--2.17595175) × cos(1.08283958) × R
    0.000766990000000245 × 0.468822077580445 × 6371000     		du = 2290.89593630144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08319904)-sin(1.08283958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468504538932068-0.468822077580445)×R²
    abs(-2.17595175--2.17671874)×0.000317538648377025×R²
    0.000766990000000245×0.000317538648377025×6371000²
    0.000766990000000245×0.000317538648377025×40589641000000     		ar = 5244649.14658365m²