Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12576 / 12128
↖ ↑ ↗
← S 65.072130°
E 96.328125°		 ← 1 029.79 m → S 65.072130°
E 96.350098°		 →
↑
1 029.62 m
↓
↑
1 029.62 m
↓
S 65.081390°
E 96.328125°		 ← 1 029.43 m →
1 060 101 m²		 S 65.081390°
E 96.350098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767608642578125 y=0.740264892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767608642578125 × 214)
    floor (0.767608642578125 × 16384)
    floor (12576.5)     		tx = 12576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740264892578125 × 214)
    floor (0.740264892578125 × 16384)
    floor (12128.5)     		ty = 12128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12576 / 12128 ti = "14/12576/12128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12576/12128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12576 ÷ 214
    12576 ÷ 16384     		x = 0.767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12128 ÷ 214
    12128 ÷ 16384     		y = 0.740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767578125 × 2 - 1) × π
    0.53515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68124294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740234375 × 2 - 1) × π
    -0.48046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50943709523633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68124294} λ = 1.68124294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50943709523633))-π/2
    2×atan(0.221034364243846)-π/2
    2×0.21753670276659-π/2
    0.435073405533179-1.57079632675     		φ = -1.13572292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68124294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13572292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.072130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12576 KachelY 12128 1.68124294 -1.13572292 96.328125 -65.072130
    Oben rechts KachelX + 1 12577 KachelY 12128 1.68162644 -1.13572292 96.350098 -65.072130
    Unten links KachelX 12576 KachelY + 1 12129 1.68124294 -1.13588453 96.328125 -65.081390
    Unten rechts KachelX + 1 12577 KachelY + 1 12129 1.68162644 -1.13588453 96.350098 -65.081390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13572292--1.13588453) × R
    0.000161609999999923 × 6371000     		dl = 1029.61730999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13572292--1.13588453) × R
    0.000161609999999923 × 6371000     		dr = 1029.61730999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68124294-1.68162644) × cos(-1.13572292) × R
    0.000383500000000092 × 0.421476970654384 × 6371000     		do = 1029.78562064523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68124294-1.68162644) × cos(-1.13588453) × R
    0.000383500000000092 × 0.421330410883163 × 6371000     		du = 1029.42753430725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13572292)-sin(-1.13588453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421476970654384-0.421330410883163)×R²
    abs(1.68162644-1.68124294)×0.0001465597712208×R²
    0.000383500000000092×0.0001465597712208×6371000²
    0.000383500000000092×0.0001465597712208×40589641000000     		ar = 1060100.75696616m²