Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12574 / 12444
↖ ↑ ↗
← S 67.842416°
E 96.284180°		 ← 921.50 m → S 67.842416°
E 96.306152°		 →
↑
921.31 m
↓
↑
921.31 m
↓
S 67.850702°
E 96.284180°		 ← 921.17 m →
848 832 m²		 S 67.850702°
E 96.306152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767486572265625 y=0.759552001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767486572265625 × 214)
    floor (0.767486572265625 × 16384)
    floor (12574.5)     		tx = 12574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759552001953125 × 214)
    floor (0.759552001953125 × 16384)
    floor (12444.5)     		ty = 12444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12574 / 12444 ti = "14/12574/12444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12574/12444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12574 ÷ 214
    12574 ÷ 16384     		x = 0.7674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12444 ÷ 214
    12444 ÷ 16384     		y = 0.759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7674560546875 × 2 - 1) × π
    0.534912109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68047595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.51904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63062157747583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68047595} λ = 1.68047595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63062157747583))-π/2
    2×atan(0.195807826558476)-π/2
    2×0.193361393422256-π/2
    0.386722786844511-1.57079632675     		φ = -1.18407354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68047595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18407354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.842416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12574 KachelY 12444 1.68047595 -1.18407354 96.284180 -67.842416
    Oben rechts KachelX + 1 12575 KachelY 12444 1.68085945 -1.18407354 96.306152 -67.842416
    Unten links KachelX 12574 KachelY + 1 12445 1.68047595 -1.18421815 96.284180 -67.850702
    Unten rechts KachelX + 1 12575 KachelY + 1 12445 1.68085945 -1.18421815 96.306152 -67.850702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18407354--1.18421815) × R
    0.000144609999999989 × 6371000     		dl = 921.310309999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18407354--1.18421815) × R
    0.000144609999999989 × 6371000     		dr = 921.310309999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68047595-1.68085945) × cos(-1.18407354) × R
    0.000383500000000092 × 0.377155254730462 × 6371000     		do = 921.495325045183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68047595-1.68085945) × cos(-1.18421815) × R
    0.000383500000000092 × 0.377021320228754 × 6371000     		du = 921.16808575675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18407354)-sin(-1.18421815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377155254730462-0.377021320228754)×R²
    abs(1.68085945-1.68047595)×0.00013393450170851×R²
    0.000383500000000092×0.00013393450170851×6371000²
    0.000383500000000092×0.00013393450170851×40589641000000     		ar = 848832.400594207m²